时空和物质如何和谐共舞华尔兹？《张朝阳的物理课》推导爱因斯坦场方程

如何用张量描述时空弯曲？什么是黎曼曲率张量？物质的能动张量又如何将之联系而形成爱因斯坦场方程？12月29日12时，《张朝阳的物理课》第193期开播，搜狐创始人、董事局主席兼首席执行官、物理学博士张朝阳坐镇搜狐视频直播间，首先回顾了广义相对论的框架，介绍了爱因斯坦场方程的结构。同时，通过与牛顿第一定律相比较，再次强调了测地线的重要性。而后，张朝阳详细地推导并讲解了黎曼曲率张量的含义。紧接着，在介绍了黎曼曲率张量的缩并后，张朝阳根据能动张量的守恒性质和比安基恒等式（Bianchi identities），给出了爱因斯坦张量，并假设爱因斯坦张量正比于能动张量。最后，在弱场近似的条件下，张朝阳比较了测地线方程和牛顿引力下的泊松方程，获得了爱因斯坦张量与能动张量的比例系数，至此完整地推导出了爱因斯坦场方程。

(张朝阳推导黎曼曲率张量)

理解爱因斯坦场方程和黎曼曲率张量

爱因斯坦提出广义相对论已有百年，各种实验都证实了其正确性。最早，爱丁顿观测日全食验证了光线偏折、爱因斯坦解释了水星近日点的异常进动。在近现代，宇宙微波背景辐射说明了广义相对论下宇宙学的合理性，而如今LIGO至今观测到了上百个引力波事件、多个脉冲双星高精度地验证了广义相对论的四极矩辐射、脉冲星计时阵列（Pulsar Timing Array，简称PTA）搜寻到了随机引力波背景、人类拍摄了超大质量黑洞人马座A星和室女座A星的照片、将近50年的高精度地月激光测距、S2绕人马座A星的进动、信使号（MErcury Surface, Space ENvironment, GEochemistry, and Ranging，简称MESSENGER）水星探测器高精度观测水星近日点的进动等实验都验证了广义相对论的正确性。经受住了如此多实验的考验，足以证明广义相对论在描述引力的框架中具有相当的卓越性。

在广义相对论中，引力不再是一种力，而是时空的弯曲，这种时空弯曲的程度由爱因斯坦场方程描述

其中方程左边第一项是里奇曲率张量，g是度规，方程右边T是物质的能动量张量。（请注意，方程右边的负号源自于里奇张量是黎曼曲率张量的第2个指标r和第3个指标t缩并后带来的。若里奇张量定义为黎曼曲率张量的第1个指标s和第3个指标t缩并，则方程右边不会出现负号。黎曼曲率张量请看公式（15）。）粒子若在时空中不受外力运动，则其由测地线方程描述

求解出爱因斯坦场方程（1），即得到度规g的形式，我们将其代入到上述方程（2）中的克氏符中并求解出粒子的坐标，即可计算出粒子的运动轨迹，而进一步便可获取其速度。

我们先理解方程（1）左边黎曼曲率张量的几何意义。一个协变矢量V在一个空间中沿着一条方向为r的曲线从P平移到R点，假设这一段很小，则相当于坐标做了如下变化

即坐标的变化量为dx。因此平移到R点处的矢量V'变成为

而其中协变导数为

这里的第一项是一个普通导数，第二项可理解为由于基矢变化而导致的矢量V的变化。此二阶张量DV的分量可表示为一个4x4的矩阵。如果矢量V'再沿着方向为s的曲线从R点平移到S点，仍旧假设这一段路径很小，则相当于坐标又做了如下变化

即坐标的变化量为dx'。类似地，平移到S点处的矢量V''变成为

其中我们用到了协变导数的线性性

现在我们类似地让矢量V平移两次，但先沿着方向为s的曲线平移dx'到达R1点，再沿着方向为r的曲线平移dx到达S点，则新的矢量V''' 为

（请注意，先沿着方向为s的曲线平移dx'，再沿着方向为r的曲线平移dx，与先沿着方向为 r的曲线平移dx，再沿着方向为s的曲线平移dx'，这四条边在无挠率（torsion free）的情况下可形成一个封闭的平行四边形，在有挠率的情况下则不行。）接着我们把这两个矢量V'公式（7）和V'''公式（9）相减得到

其中我们用到了对坐标基矢的普通导数等于0的条件以及克氏符的对称性

因此我们可定义黎曼曲率张量R为

使得两种平移所得的矢量V''和V'''与原先的矢量V有如下线性关系

这两种平行移动的起点和终点一样，只是路径不同，在弯曲时空中，沿着不同的路径平移就会导致矢量的偏差。为了更加形象地说明这个现象，张朝阳先在一张平直的白纸上画了一系列平行的向量，再剪去一个缺口，将白纸粘合形成一个圆锥。他发现，原先平行的矢量在缺口处不再平行，矢量绕着这个圆锥走一圈后，与原矢量不相同了。或者说，从纸上某点P顺时针绕过锥顶来到位于缺口的点S，和逆时针绕过锥顶来到点S，得到的矢量是有差别。

(张朝阳以纸张演示时空弯曲)

方程（12）说明，一个矢量的二阶协变导数交换次序后产生的三阶张量，等于一个四阶的张量与矢量自身的缩并。根据方程（12），可将协变导数表示为普通导数和克氏符的组合

由于矢量V 是任意的，因此黎曼曲率张量可以表示为克氏符沿两个方向的导数之差加上克氏符的乘积之差

通过克氏符的表达式

可看出克氏符是度规的一阶导数，而黎曼曲率张量（15）则是度规的二阶导数。我们再回顾一下度规的定义，它是标架的缩并

如果将缩并用平直度规表述，则可重写为更加通用的形式

黎曼曲率张量的缩并与能动张量

黎曼曲率张量是一个四阶的张量，而能动张量是一个二阶的张量，它们之间不好直接联系。为了让这两个张量产生直接的联系，最简单的方式就是将黎曼曲率张量（15）从4阶缩并（contraction），即让指标t与r相同，降到2阶张量，以及对此二阶张量用度规所并得到零阶标量，

并且假设构成如下线性组合的形式

G是一个二阶对称张量，带下指标s和n的R也是一个对称张量，称之为里奇张量（Ricci tensor），最后一个标量R称之为里奇标量。

上节课张朝阳已经介绍了能动张量各个分量的物理含义，即能动张量T的00分量表示物质的能量密度，0i分量表示沿空间i方向上的能流密度，ij分量代表动量密度的i分量在j方向上的变化率，这些部分需满足能量动量守恒定律，即能动张量的散度为零

(张朝阳讲解能动量张量的协变散度为0)

假设我们方程的构造也是一个线性的形式

则能动张量的守恒条件要求

用度规张量把自由指标拉到下面，可以得到

即

此时将公式（20）定义的张量G中的比例系数a除到后面的两个系数中，由此我们得到了更简洁的形式

在黎曼几何中存在两个关于黎曼曲率张量的恒等式，即比安基恒等式和里奇恒等式：

我们令上述的比安基恒等式缩并，即

可得到

再用两个指标在上的度规g作用到方程上缩并，得到

因此我们获得了公式（26）中的系数

也计算出了场方程进一步的形式

或者写成指标全部在下方的形式

确定待定系数及导出爱因斯坦场方程

为确定待定系数c2，我们可以考虑弱场极限，此时广义相对论应回到牛顿引力，引力势能满足泊松方程

泊松方程中出现了物质的密度，而在能动量张量中，00分量代表物质的密度，这提示我们爱因斯坦场方程的00分量应该可以在弱引力下退化为牛顿引力中的泊松方程。

在弱场近似下，度规可表达为闵氏度规下的微扰

将测地线方程中加速度项的原时替换为坐标时t，并联立测地线方程

得到

其中我们用到了测地线的第0分量

在低速下，即3-速度约为0

可将方程（39）进一步化简为

将此度规代入克氏符中，保留一阶小量得到

我们得到加速度为

或者

此加速度与引力势的关系为

对比（45）与（46），我们得到

或

公式（35）中微扰项的h除00分量非零外，另外的分量都为0，代入到里奇张量中得到

里奇张量的00分量和里奇标量为

将里奇张量和里奇标量代入到场方程（33）中可直接得到

其中左边方程的最后一步用到了泊松方程（34）。对比两边的形式可得待定系数c2为

经过量纲分析，可将光速c补上，得到完整的爱因斯坦场方程

（张朝阳推导爱因斯坦场方程）