广义相对论与天体的交融，《张朝阳的物理课》揭秘星体内部方程

如何计算一个二阶张量的协变散度？理想流体的能动张量长什么样？计算理想流体能动张量的协变散度又为什么会得到天体内部的方程？4月14日12时，《张朝阳的物理课》第二百零八期开播，搜狐创始人、董事局主席兼首席执行官、物理学博士张朝阳坐镇搜狐视频直播间，在介绍了张量的协变导数后，首次运用理想流体的能动张量守恒推导出了天体内部关于压强分布的微分方程。

（张朝阳推导能动张量的协变散度）

张量的协变散度

在最近的两次课程中，张朝阳回顾了微分几何中所使用的张量、克氏符和张量的协变导数。在本节中，张朝阳在上次课程的基础上，继续介绍张量分析，并着重讲解了协变散度。

在矢量微积分中，一个矢量的散度代表了某个物理量的守恒性质，例如质量守恒或者电荷守恒，其数学形式为

可将此等式写成流密度的四维形式

这便是一个四维矢量的协变散度，其等于零意味着某个物理量守恒。而在爱因斯坦场方程中

在方程右边出现的二阶的张量——能动张量，代表着物质的效应。这个能动张量应有与上述所说的密度流有类似的性质，即协变散度等于零的条件。实际上场方程左边使用比安基恒等式就自动为零，则右边自然有

我们将指标换一下得到

这就是广义相对论中的能量动量守恒的表达式。为更进一步理解此表达式，让我们回忆一下上一节课所学的协变导数。协变导数作用到张量上会使张量的阶数升一阶，例如对于任意一个二阶张量来说，其协变导数为

而散度则是让这里的γ变成α，这样根据爱因斯坦求和规则，将α从0到3进行求和：

若用度规，则此二阶张量的协变散度可表示为

我们可将上述过程总结为：二阶张量的协变导数是三阶张量，两个指标缩并后变为了1阶张量，也就是对应于一个矢量。因此对张量的两个指标进行缩并，最后的结果会让张量降2阶。

（张朝阳讲解二阶张量的协变散度）

理想流体能动张量

对于爱因斯坦场方程

左边的散度在比安基恒等式的要求下为零

所以右边有

若我们的求解区域在真空中，则能动张量自然为零。真空场方程为

用度规对此式缩并，得到

这说明了真空的爱因斯坦场方程是一个里奇平坦的时空

我们之前计算得到的史瓦西时空便是这样一个情形。

若我们放入物质，研究星体内部，但仍要求时空是静态球对称的，例如太阳内部，则结果必然不是史瓦西真空解。一般来说，可将星体内部看成理想流体，而将复杂的相互作用全部放入理想流体的物态方程中。而理想流体的能动张量为

其中ρ表示密度，p指压强，V是四维速度

由于粒子测地线的固有时有

因此四维速度拥有一个一般性的表达式：

在静态球对称的假设下，只有以下的分量非零

其原因是当流体静止时，流体的空间位置不会随时间变化。此时度规也只有对角线上的元素非零，且θθ分量和φφ分量和真空中史瓦西度规一致：

则其上指标的形式为

也就是

取能动张量的00分量，得到：

其中用到了

再看α与β不相等的情况

第二个等于号是因为非对角线的度规分量必须为0；最后一个等号来自于四维速度只有0分量，但由于α与β不相等，必然使得这两项不能同时取到0分量。这说明对于静态球对称分布的理想流体，其能动张量是一个对角矩阵。

最后令α等于β，且不等于0，则有

这里同时出现α不表示求和。

因此写出整个能动张量为

若将能动张量写成一个上指标和一个下指标，则可根据

写为

（张朝阳介绍理想流体的能动张量在静态球对称时空中的各个分量）

理想流体能动张量的协变散度

对能动张量的散度为零可得

当β=0即为能量守恒：

计算中用到了能动张量的表达式

以及静态条件

结果中的第一项和第二项进一步可写为

这是因为度规分量和能动张量都是对角矩阵，且不是时间的函数。因此β=0的能量守恒条件只给出了一个平凡的结果。

当β=1时：

第二项可化简为

第三项可化简为

其中我们用到了

因此原式等价于

展开这些指标求和可得

最后的结果为如下简洁的形式

这便是静态球对称理想流体组成的天体，其内部压强分布所遵循的微分方程。

张朝阳说：“只要知晓度规的00分量和密度与压强之间的物态方程，即可求解此方程。因此我们下节课将用此方程一起和爱因斯坦场方程求解，得到托尔曼-奥本海默-沃尔科夫（Tolman-Oppenheimer-Volkoff ，TOV）方程。”

（张朝阳解释得到的天体内部压强所满足的方程）

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