宇宙的演化方程是怎样的？《张朝阳的物理课》分析宇宙学度规

宇宙学度规中的k预示着怎样的宇宙？如何从爱因斯坦场方程得到宇宙的演化方程？3月16日12时，《张朝阳的物理课》第二百四十期开播，搜狐创始人、董事局主席兼CEO、物理学博士张朝阳坐镇搜狐视频直播间，先给网友们复习了宇宙学度规（即Friedmann-Robertson-Walker度规，简称FRW度规）的导出，并分析了FRW度规中的参数k如何预示了宇宙的形状，最后根据爱因斯坦场方程以及FRW度规所对应的里奇曲率，得到了宇宙的演化方程——Friedmann方程。

(张朝阳推导宇宙演化方程))

基于合理的假设 导出FRW度规

直播课一开始，张朝阳给网友们复习了上一次直播课的推导结果。在上一次直播课中，张朝阳基于宇宙学的均匀、各向同性假设给出了如下度规形式

其中，dt²前面的系数为常数-1，这是因为在均匀宇宙假设下，可以选取一个坐标使得等时面上各处的时间流逝速度一样。除此之外，张朝阳还给宇宙加上了静态这个暂时性的条件，这样做是为了通过简单模型来揪出宇宙学度规的本质特征。基于这些假设，可知上式中的a是一个常数，b是一个只依赖于r的函数。

前述度规具有与很久之前求解施瓦西度规、行星内部解时所采用的一般球对称度规具有几乎一样的形式：

因此，张朝阳借助以前求行星内部解时的过程，成功得到了如下形式的静态宇宙学度规：

令K=k_1*a²，可将上式改写为

在静态度规的时候，里奇张量00分量等于零，由此可以推导出压强与能量密度所满足的关系：

对于普通物质，能量密度是大于零的，这就导致压强是负的，物质自身有收缩的倾向。而引力本身就会导致物质收缩，于是可以知道这样的宇宙肯定不能稳定存在。正因如此，静态宇宙的假设不合理，a需要随着时间改变而跟着改变，这意味着宇宙会随着时间或膨胀或收缩（通过求解演化方程可以知道是膨胀）。进一步的，张朝阳假设宇宙在膨胀过程中，空间的弯曲程度是不受影响的，这意味着K=k_1*a²中的a不跟着时间一起改变，K需要保持为一个常数。

到目前为止，K的取值范围不受限制。当K不等于零的时候，可以作如下坐标变换：

并且设k=K/|K|，那么宇宙学度规可以改写为

在K不为零的情况下，k=K/|K|只能取+1或者-1。当K=0时，直接定义k=K=0，不必再作坐标变换即可得到上述形式。这就是著名的Friedmann-Robertson-Walker度规，简称FRW度规，其中k只能取±1或者0。

(张朝阳复习如何得到FRW度规)

探究不同的k所对应的FRW度规

在复习完上一次直播课的内容之后，张朝阳开始介绍起不同的k取值意味着什么。当k=1时，FRW度规为

引入新坐标分量χ满足

由于r是正定的，因此χ的取值范围为0到π。由这个坐标变换，我们得到

因此，在新坐标下，FRW度规变成了

对于固定的时间t，相应的空间部分的度规为（忽略一个整体的因子a²(t)）：

将其与球坐标形式下的三维平直空间度规作比较：

由这个对比可以知道，在式(1)的空间中，对于固定的χ，所有不同的极角Ω所对应的点(χ, Ω)构成的是一个“半径”为sin(χ)的“球面”。特别的是，当χ从0增大到π，此“半径”先从0开始增大，然后再减小为0，这就说明宇宙空间在χ=π处闭合。于是，在k=1的情况下是一个闭合宇宙。

当k=-1时，FRW度规为

引入新坐标分量χ满足

这是双曲正弦函数，其导数为

容易证明sinhχ与coshχ满足如下等式：

于是

因此，在新坐标下，FRW度规变成了

对于固定的时间t，相应的空间部分的度规为：

因此，对于固定的χ，所有不同的极角Ω所对应的点(χ, Ω)构成的是一个“半径”为sinh(χ)的“球面”。由于sinh(χ)是一个单调递增函数，由此我们可以预期这种情况下的宇宙空间是无穷大的。然而，这样的论断在数学上并非是严格的，我们一般无法从局域的度规得知宇宙整体的形状，最简单的一个例子就是无穷长圆柱面。假设这个圆柱面以z轴为中心，采用柱坐标，可以得到圆柱面上的度规为

在圆柱面上r为常数。定义新变量，x=rθ，于是可以得到新度规为

这很明显就是平直的二维空间度规。这说明在局域上，圆柱面和平直空间无异，但是它们的整体是完全不一样的，其中的特别之处是，圆柱面的点(z,x=0)和(z,x=2πr)是同一点。对于FRW度规，我们无法确认类似的情况是否会出现，目前还不能说k=-1就对应着无穷大空间的宇宙，有可能它也像圆柱面那样经过“粘连”成为了一个有限空间的宇宙。不过，对于k=1，是有严格的数学证明表明空间部分一定是有限大的。

对于k=0，此时的FRW度规为

对于固定的时刻t，其空间度规就是平直空间的度规：

与前面的理由一样，k=0的情况下我们目前同样无法确认宇宙空间是否是无穷大的。

(张朝阳介绍k=-1时的坐标变换)

借助爱因斯坦场方程 求出宇宙演化方程

借助FRW度规的表达式，可以计算得到相应的里奇曲率。由于其计算过程很繁琐，张朝阳在直播课上直接列出了推导结果：

其中，a上一点表述a对t求一次导数，两点表示对t的二阶导数。上式中没有列出来的分量都为零。由于FRW度规为

于是

于是标量曲率为

相应的爱因斯坦场方程为

其中能动张量T为

于是由爱因斯坦场方程可以得到如下两个互相独立的方程

将里奇张量以及里奇标量代入，通过化简，可以得到如下两个方程

利用第一个方程，可以将第二个方程改写为

再结合前述第一个方程，张朝阳最终给出了描述宇宙演化的Friedmann方程：

(张朝阳介绍Friedmann方程)

据了解，《张朝阳的物理课》于每周周日中午12时在搜狐视频直播，网友可以在搜狐视频APP“关注流”中搜索“张朝阳”，观看直播及往期完整视频回放；关注“张朝阳的物理课”账号，查看课程中的“知识点”短视频；此外，还可以在搜狐新闻APP的“搜狐科技”账号上，阅览每期物理课程的详细文章。返回搜狐，查看更多