时空与物质如何紧密相依？《张朝阳的物理课》介绍爱因斯坦场方程

物质如何影响时空？又如何在被扰动的时空中运动？如何用精准的数学语言来表述广义相对论？又如何理解公式背后的层层物理原理？12月24日12时，《张朝阳的物理课》第一百九十二期开播，搜狐创始人、董事局主席兼首席执行官、物理学博士张朝阳坐镇搜狐视频直播间，首先回顾了张量的定义，重温了张量这一数学语言在表达广义相对论中无可替代的地位。紧接着，他还回顾了弯曲时空中测地线的定义，详细讲解了“时空决定物质如何运动”的物理内涵。其后，张朝阳转向与之相对的“物质决定时空如何弯曲”这一主题，从牛顿引力的场方程形式出发，介绍了爱因斯坦场方程。

广义相对论用张量来表达

传统的时空观源于生活直观经验：空间八荒六合，有三个维度；时间如长河，独立向前流淌。根据现代物理学理论，自然未必如此简单。张朝阳介绍，首先以现代物理学的观点，时间和空间是“搅和在一起的”，形成一个四维的空间，或者又统称称为时空（spacetime）。一个例子是闵氏时空，其上每一点都用四个坐标

来标记，是狭义相对论的研究对象。其次，在大多数情境下，时空未必如所愿般平直整齐——除非整个时空上都空无一物。通过对质量的思考，爱因斯坦经由被称为“弱等效原理”的假设，提出引力本质上是时空的弯曲，构建了数学上和物理上都稍有难度，但又自带非凡美感的广义相对论。

数学上，为了描述时空的弯曲，需要全新数学工具——张量分析。在之前直播课上，张朝阳曾经详细讲解过张量的定义和性质。他解释，张量分析本身并不神秘，它其实是经典物理中熟悉的数学工具的推广，比如低阶的张量对应

阶数大于2的张量没有一个简单常见的表达形式，但它无非是若干个数或者说分量按一定规则组成的整体。所谓的规则，是要求在任意坐标变换

下，张量的各分量要按特定方式进行重新组合，以保证整个张量的不变。以一阶张量为例，协变张量和逆变张量应当满足的变换规则分别是

特别地，坐标微元也满足张量变换规则

它即是链式求导法则。

两个一阶张量作张量积的结果是一个二阶张量，不难推论，在坐标变换下二阶张量的各分量要求满足

二阶张量的一个例子是度规张量。想象三维空间中某个方向上的小位移，在给定坐标基下，可以表达为

它的模长是

不难看到，两个坐标微元前面是一组用两个指标标记的数，可以重新记为

由于在坐标变换下，基矢

不难验证它满足变换规则的要求，于是 g 是一个良好定义的张量。相似的形式可以相当直接地扩展到四维时空上时空间隔的表达上。再利用上坐标微元的变换规则，不难验证坐标变换后

时空间隔是一个不变量。

（张朝阳回顾张量的定义）

时空决定物质如何运动

生活在具体的时空中，物质的运动过程与时空的性质紧密联系。宏观物体的运动可以用它的运动轨迹——也就是某条曲线——描述。当仅关注曲线中的很小一段时，曲线可以局域地用直线来刻画，表示为时空间隔 ds 。与狭义相对论相对应，此时时空间隔可以被更恰当地解释为粒子自身的原时。于是，轨迹的切矢

即可以被解释为粒子的（四）速度。直观地看，如果任意给定一条轨迹，定义的切矢当然是沿着轨迹运动并不断变化的。那么怎么刻画它沿轨迹的变化呢？张朝阳介绍，刻画变化一般用要到求导，但一般对张量各分量的偏导数的机构，并不总能满足张量的变化规则。因此，为了得到协变导数（covariant derivative）引入一些修正是必要的。以1阶逆变张量为例

而对协变张量，则是

求导的结果一般是一个16分量的二阶分量，它记录了各分量在各个特定方向的平移下的变化量。

而如果将平移限定在沿着某条已知曲线，或者说轨迹上时，如若记曲线上的小段间隔为 dx^γ，则在走过这段间隔后矢量的变化可以记为

为了理解这一式子的涵义，可以先从相对熟悉的三维空间上的某一力场说起。如图：

如果一个矢量场记为

沿曲线移动一小段后，各分量的变化可以由泰勒公式给出

矢量整体的变化，即是分量变化的组合

而式 (1) 无非是将这一个结果用张量的语言从新表达，并对应地将普通偏导数替换为协变导数，以适应弯曲时空。

在经典教科书上，这一过程为矢量沿某曲线的平行移动（parallel transport）。推导 (1) 式过程中，U 代表的是任意矢量，理所当然地可以取为轨迹的切矢。注意到，如果是在平面上，一条直线的切矢沿着直线运动时，它的方向不作任何改变。换而言之，直线上各点的切矢相互平行——它也是将该过程称为“平行”移动的由来。类似地概念可以被推广到弯曲时空中，张朝阳进一步介绍，那么接下来的问题是：如果此时时空是弯曲的，能否找到切矢平移不变的轨迹？答案是肯定的。还是从 (1) 出发，切矢平移不变意味着

如果除以原时，矢量沿轨迹的变化速率为

利用切矢的定义，方程可以被改写为

解这一微分方程得到的曲线即满足前面所提要求，称这条曲线为测地线（geodesic）。

测地线之于弯曲时空，好比直线之于平直时空，前者是后者的自然推广。利用它们之间的对应关系，还可以对力学的基本原理作推广。回忆牛顿第一定律，不受外力作用的物体的运动轨迹会保持为一条直线。而如果把引力不视为“外力”，自然地会要求弯曲时空中的不受力物体沿测地线运动。值得注意的是，因为时空是弯曲的，即使不受外力，粒子也并非没有“加速度”。张朝阳解释，如果换个角度来看，将 (2) 式与牛顿第二定律对比，粒子的加速度完全由几何性质决定，并不依赖于粒子自身的质量。用一句话总结，“时空决定物质如何运动”。

（张朝阳介绍测地线定义及其方程）

物质决定时空如何弯曲

方程 (2) 中，几何效应由克式符给出。虽然方程不依赖于运动粒子的质量，但它仍和引力源的质量有关。引力源的质量作为参数出现在克式符的各分量中，所以又常说，大质量物体造成了时空的弯曲，或者说“物质决定时空如何弯曲”。

物质对时空曲率的影响在广义相对论中用爱因斯坦场方程来表达。在场方程中，爱因斯坦在等号左侧放入描述时空弯曲的几何量——曲率。曲率由克式符和它的一阶导通过一定的张量运算得到，也即是包含了度规的二阶导数。而在等号右边，爱因斯坦放入描述物体质能和动量相关的二阶张量。张朝阳用“隧道”来比喻场方程，它非常漂亮地连通了时空几何和物质能量两座大山。给定时空中的物质分布——比如放下一个大质量恒星，就可以从场方程中解出时空的度规以及克氏符；知道度规和克氏符后，利用测地线方程，就可以预测大质量天体附近小质量行星的运动轨迹。

为了更好理解场方程，张朝阳先重新回顾了牛顿引力方程。原则上，正如测地线是直线的推广，广义相对论可以视为牛顿引力的自然推广。关于牛顿引力，以及相关的数学工具，在《张朝阳的物理课》第二卷中已有相当详细的推算，这里仅做一个概述。首先离开张量，重新回到熟悉的力、矢量和常用微积分的语言。结合牛顿第二定律和牛顿引力的平方反比律，有

这里根据弱等效原理，在方程两边删去了运动粒子的质量。如图，

假设空间中有一个曲面 S 包围着作为引力源的一团物质，穿过曲面的力的总和

这里用到了散度定理，来给出面积分和体积分之间的关系。由于牛顿引力是保守力，所以可以定义一个引力势能 ϕ 使得

积分等式右边又可以写为

同时，由于牛顿引力满足平方反比律，它将满足高斯定理。即如果物质按密度 ρ 分布，在曲面内选一小体元（如图所示）

它产生的引力为

它在曲面的通量为

所以，曲面所围住的所有物质造成的引力通量为

如果所取曲面围住的体积很小时，结合 (3) 式，可以得到方程

它有几个特点：其一，它与测试粒子的质量无关，这是弱等效原理的体现；其二，物质分布决定一个标量场（scalar field）以描述引力的分布。从这一角度，在矢量表达之外，牛顿引力也可以被总结为一个场方程（field equation）。

这一场方程应该被视为爱因斯坦场方程的近似版本。在牛顿引力框架下，方程中只涉及对空间的求导，而时间独立于空间独自流淌。引力的效应与时间无关，换句话说，引力作用是瞬时的，是一种超距作用。同时，方程描述的物质分布和势场都是基于三维平直时空，不涉及任何内禀弯曲的几何效应。但是正如前言所提，“世界并没有那么简单”。张朝阳解释道，光速是速度的上限，所以自然不应该存在任何超距作用。当时空作为整体纳入考虑时，甚至不再保持平直时，过于简单的、单一分量的标量场就不再能刻画复杂的时空结构。

自然地，应当把标量场方程扩展为一个张量场方程。等号右边，质量密度被提升为能动张量

能动张量是一个二阶对称张量，质量密度，或者说由相对论原理，等同的能量密度 ρ，仅是它的 00 分量。整体上，如果以矩阵形式表达

蓝色部分三个分量量，可以被理解为物质分布的压强。这一类比事实上来源于对流体的研究，在前面讲解中子星简并压的课程中，张朝阳曾介绍过，自然单位制下压强分布和能量密度拥有同样的量纲。而红色部分的三个分量，两指标一代指空间分量一代指时间分量，事实上写入的是物质的动量分布。此时，扔剩下的三个独立分量，也有相当的物理意义，留待后续课程继续展开分析。

转到等号左边，等号左边应该是描述时空弯曲的量。原则上，度规是一个二阶张量，所以包含度规二次导的曲率应当是一个四阶张量，又被称为黎曼曲率张量（Riemann curvature tensor）。它一般被记为

为了与等号右边的二阶张量相等，需要收缩其中两个指标，使其变为一个二阶张量。习惯上，会收缩指标 t 和 s

得到里奇曲率张量（Ricci curvature tensor）。在猜想广义相对论动力学方程的早期，爱因斯坦曾尝试将里奇张量放入到方程左边，而后经过多次尝试，为了满足能量动量的守恒律

左边事实上应该是里奇张量和它的迹的线性组合，被称为爱因斯坦张量

其中，里奇张量的迹

又称为里奇标量。

综上所述，爱因斯坦最后得到的方程是

这是一条复杂而优美的方程。张朝阳提醒，注意到它是一个二阶张量的方程，所以这一条方程其实是十条方程的归纳，所以相当复杂。但同时，它的意义又足够简单清晰，因此引起了近一百年间无数物理学家、数学家、实验学家的不断研究和检验，百年来直至今日仍在不断更新对自然和宇宙的认知。在广义相对论的启发下，膨胀宇宙，时间奇点和宇宙大爆炸假说等对宇宙的探究认知已经逐渐深入人心。新世纪以来对微波背景辐射，以及更为激动人心的对引力波的观测和事件视界望远镜对致密天体的观测，不断地在验证广义相对论和宇宙学的正确性。

（张朝阳介绍爱因斯坦场方程）

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