粒子如何在弯曲时空中“走直线”？《张朝阳的物理课》解密测地线

如何理解广义相对论中引力和时空弯曲的对应？时空的弯曲如何影响粒子的运动？弯曲时空中有“直线”吗？12月17日12时，《张朝阳的物理课》第一百九十一期开播，搜狐创始人、董事局主席兼首席执行官、物理学博士张朝阳坐镇搜狐视频直播间，首先简单介绍了广义相对论的基本原理和框架，并回顾了张量与协变导数的定义。接着，张朝阳介绍了一个测试粒子如何在大质量物体造成的弯曲时空中运动，推导了测地线方程，并论证了测地线即是测试粒子的轨迹。

广义相对论的基本框架

狭义相对论告诉人们时间空间本是一体，广义相对论则更深刻地重塑了我们的世界观。自重新复习和讲解了狭义相对论的时空观后，张朝阳开始“向广义相对论这座高山进军”。他感叹道，天才如爱因斯坦总能在一些看似简单的“巧合”上洞察本质。譬如“弱等效原理”，回忆牛顿第二定律，力改变物体运动状态的能力掣肘于物理本身的惯性，而惯性用物体的质量来衡量。当利用这一定律考察拉力、摩擦力、电磁力时，一切都合理自然。然而，当代入同样是牛顿给出的引力公式时，我们立刻会发现，引力改变物体运动状态的能力，似乎不再受物体本身惯性的影响。

这是由于，决定引力作用大小的“荷”恰好也是质量，将它和牛顿第二定律放在一起，质量恰好能从等号两边约去。这一事实在现在被命名为“弱等效原理”，它启发了爱因斯坦开始思考：为何引力的作用会如此普适，甚至不区分粒子？消去力的“荷”后，加速度究竟是怎样产生的？爱因斯坦的答案是：引力不是一种“力”，而是时空的弯曲，物体的加速度其实是几何效应。既然所有物体都得存在于时空上，那么也不难理解为何引力如此普适。

张朝阳介绍，这一认知促使爱因斯坦提出了广义相对论，广义相对论的基本思想即是大质量物体会造成时空的弯曲，从而影响了物体的运动轨迹。他自称，广义相对论在物理概念和数学形式上都相当有挑战，自己学习广义相对论就像登雪山一样。和登雪山要一段一段走过好几个营地一样，学习广义相对论也应该有若干个节点，首先是了解怎么描述一个弯曲的时空。这一步必要用到我们称之为张量的数学工具，具体的概念和定义已经在前两节直播课上介绍过。其中最重要的是被称为度规的二阶张量

被认为是刻画了时空性质的物理量。考察时空的弯曲，必然要涉及考察物理量的变化，所以还要涉及对张量的导数。为了让求导之后的结果同样构成张量，需要引入对普通偏导数的修正，从而构成协变导数（covariant derivative）

修正项由一个称之为克氏符的量决定，通过约定相容性条件

和无挠条件

可以推出克氏符完全由度规决定

由克氏符可以进一步构造出描述弯曲程度的几何量——曲率（curvature），这将是之后要着重介绍的内容。

张朝阳提醒，在讨论对弯曲的描述时，隐式地假设了存在一个给定地度规 g，再基于它去构造各种几何量。所以，理解了如何描述时空弯曲后，下一步要分析如何确定一个恰当地度规。事实上，确定度规形式的是爱因斯坦提出的广义相对论场方程。方程中，等号的左侧是几何的曲率，等号的右侧是描述引力源——比如一个大质量天体——性质的二阶张量，也称为能动张量。给定引力源，可以从场方程中反解出度规，再具体定下克氏符等几何量。

在这两个“营地”之间，其实还有一个重要的节点，即要问：在大质量物体的影响下，一个测试粒子是如何运动的？既然，引力不是一种通常意义上的“力”，而是时空的弯曲。那么当测试粒子仅受引力作用时，以弯曲时空上的观点，它其实是不受力的。牛顿第一定律提出，不受力的物体保持匀速直线运动。自然地可以期望，能不能将平直时空中的直线的概念，类比推广到在弯曲时空中。张朝阳介绍，这一类比即是弯曲时空中的“测地线”（geodesic）。平直时空中，不受力物体的运动轨迹是直线，而在弯曲时空中，不受力物体则将沿着测地线运动。

（张朝阳回顾张量和协变导数的定义）

测地线是弯曲时空上的“直线”

在球面上——比如地球上——的测地线就是一个大圆。走测地线的好处在于，连接两点之间的各种路径中，测地线的长度取到极值（极小或者极大），正如直线之于平直空间。张朝阳以从北京飞往纽约的航班为例，飞机的飞行路线会选择走过北极上空，经过安卡拉其、阿拉斯加……这条路径即是大圆的一部分，是两个城市之间的最短路径。另一方面，在绘制世界地图实，需要把整个球面展开到平面上，此时，经度的大圆，作为测地线，甚至比例尺看起来会扭曲的非常奇怪，但其实这正是球面实内禀弯曲这一特性的体现。

如何在弯曲时空上找出某条测地线，并确定它的表达呢。为了解决这一问题，首先要问一个矢量如何在沿线平移途中变化。矢量的各分量一般以逆变形式给出，所以第一步要推导的是逆变张量的协变导数。注意到协变张量和逆变张量之间有通过度规决定的对应关系

将它代入到对协变张量求协变导数的定义（1）式中，再利用相容性条件（2）式，不难推出

求导的结果是一个二阶张量，它给出的是矢量的四个分量在四个不同方向上的十六个斜率。如果给定特定的小平移

矢量的整体变化可以写为

这一式子可以类比于平直时空中的向量平移，同样平移出一段Δr的举例后，一个三维矢量，比如某个力 F 的各分离变化是

在弯曲时空中，这一计算也是类似成立的。

为了衡量变化率，一般要求这一小平移的长度为单位长度，所以要除上任意小平移的长度，它即由线元给出

和狭义相对论中所讨论的一致，三维空间中的线元是距离，四维时空中的线元是时空间距，同也是运动的粒子的原时。于是，除以线元长度后，矢量沿某个方向平移的带来的变化是

其中第一项变成了普通的，可以看成是对原时的求导。而第二项修正中，

可以认为是一个速度项，或者用几何的语言，是时空中某条路径或者说轨迹的切矢量。

上面的讨论中，所取的矢量 U^m 是任意的，不妨将其取到和上述所提的路径的切矢量一致，此时有

张朝阳解释，它对应的是某一路径或者轨迹的切矢量，沿着轨迹做平行移动（parallel transport）时的变化率。在平直时空中，一条直线上各点的切矢量自然是不变的。将其推广，弯曲时空的“直线”应当要满足同样的要求。所以，一条测地线应当满足上述方程等于 0，展开来写，即

再利用切矢量的定义（3），可以得到二阶方程

积分结果就是一条“弯曲时空的直线”，它即是引力作用下测试粒子的运动轨迹。

张朝阳提醒，仔细观察测地线方程，注意到 ds 可以被解释为粒子原时，不难发现它和牛顿第二定律有非常类似的形式。等号右边可以被解释为加速度加速度，它与测试粒子本身的质量无关，只决定于由克氏符描述的时空弯曲的形式。这一结果符合课程开始时的爱因斯坦对弱等效原理的思考结论。这是一种全新的观点来看待万有引力的作用，强调了“引力本质是空间弯曲”这一结论。

（张朝阳推导弯曲时空中的测地线方程）

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