数学教学中辩证思维的养成

本文转自：大众日报□邵婷婷

数学的知识体系、思想方法中蕴含着丰富的辩证元素，如具体与抽象、有限与无限、微分与积分、偶然与必然，等等，正如恩格斯在《自然辩证法》中指出的“数学：辩证法的辅助工具和表现形式”。辩证逻辑的三大规律是对立统一律、量变质变律、否定之否定律。数学教学中，教师应坚持运动的、发展的、联系的原则，运用三大规律阐述教学内容，揭示数学知识内在的辩证关系，培养学生的辩证思维，提升思维的广度和深度，培养科学理性的世界观和价值观，为在课堂教学中落实立德树人根本任务服务。

一、“具体”与“抽象”的辩证

现实世界中有一棵树、一只羊、一颗石子，将这些具体事物在数量上的共同属性抽象出来，即是数学中的“1”。数学中研究的空间形式和数量关系是对现实世界具体事物逐层抽象之后的产物，研究获得的抽象结论可以应用于更加广泛的具体现实，从而达到具体与抽象的对立统一。数学史上著名的“七桥问题”也很好地说明了这一点。哥尼斯堡城中有七座桥连接河岸和两个小岛，当地居民在散步时考虑：能否经过每座桥一次再回到原点？大数学家欧拉将河岸和小岛抽象为数学中的“点”，将桥抽象为数学中的“边”，那么这个问题可以用数学语言表示为：从任一点出发，能否通过每条边一次且仅一次再回到出发点？欧拉提出简单的判定法则证明七桥问题是无解的，并开创了数学中新的分支“图论”。数学家的研究方法是从具体现实中抽象出共同模式，将共同模式研究透彻之后再应用于更广泛的具体现实。教学中，教师应引导学生从现实生活中抽象出数学模型，用数学的眼光观察具体问题、用数学的思维分析具体问题、用数学的方法解决具体问题，感受数学的应用价值。帮助学生以具体背景理解抽象的数学内容，体会数学来源于实践，数学知识可以广泛地应用于其他各门自然科学和社会科学，数学是人类探索自然认识社会的文化活动。

二、“有限”与“无限”的辩证

无限由有限构成，有限中包含着无限，二者既有本质不同又有相互联系，是对立统一的整体。数学中经常通过极限来实现有限和无限的转化。例如，高等数学中的无穷级数a1+a2+…+an+…，解决的是无限多项求和问题。我们的研究方法是：先考虑有限多项之和，即对级数的前n项a1+a2+…+an求和，再求前n项和当n→∞时的极限，得到无限多项求和的结果。当级数收敛时，无穷多项求和的结果是有限的数值。教学中，教师要引导学生体会到极限是有限向无限转化的有效途径，在取极限的过程中，量变产生质变，展现出通过有限研究无限的辩证思维，帮助学生突破已有的关于有限的认知，实现从有限到无限的跨越。学习和工作中，应不断突破认知的有限边界，去探索无限的真理；把握有限生命，创造无限价值。

三、“微分”与“积分”的辩证

微分和积分统称为微积分，是高等数学的主体内容，是现代科学发展的基石。微分产生于精确描述物体运动的需求，表达的是物体在任一时刻的瞬时速度，是曲线上任一点处切线的斜率。而积分是通过分割、近似、求和、取极限4个步骤构造出的和式极限。例如，在求变速直线运动的路程时，第一步，将运动时间分成很小的时间段；第二步，将小段时间内的变速运动看成匀速运动求出路程的近似值；第三步，求和得到整段路程的近似值；第四步，通过对时间间隔的无限细分取极限得到路程的精确值。整个过程包含了由常量到变量、由近似到精确、由有限到无限、由量变产生质变的转化。微分和积分是互逆的运算，彼此又互为存在的前提条件，在微积分基本定理中达到对立统一。微，即微小，故微分是从细微之处描述函数，关注的是局部特征；积，即积累，故积分是无穷小量的求和，关注的是整体特征。对于物体的运动轨迹，要先了解每个点处的瞬时速度和运动方向，这是由整体到局部，是化整为零求微分；反之，了解动点在每个时刻的速度和方向，也就明确了动点在一段时间内的轨迹，这是由局部到整体，是化零为整求积分。因此，局部与整体的辩证统一，也是微分与积分的辩证统一。教学中，教师应带领学生用动态的、联系的观点把握微积分中的辩证关系，通过局部来描述整体，通过整体来刻画局部，既要整体审视，又要局部聚焦。

四、“偶然”与“必然”的辩证

概率论是研究随机现象的统计规律性的数学分支，概率论的研究对象是随机现象在大量的试验次数下展现出来的规律，每一次随机试验的结果是偶然现象，多次随机试验展现出来的规律是必然结果，即偶然与必然在大量的试验次数下达到对立统一。例如，概率论中的泊松分布描述的是大量的试验次数下稀有事件发生的概率，统计资料显示，某交通路口的事故发生率为万分之三，每天有两万辆车通过该路口，应用泊松分布可以计算出每天至少发生两次交通事故的概率约为98.26%。车辆通过该路口发生事故是极其偶然的，但每天通过路口的车辆很多，故发生两次以上事故基本上是必然的。教师要引导学生理解，大量的偶然中蕴含着必然，没有脱离偶然的必然，偶然要受到必然的制约，学习和工作中要有耐心恒心，努力揭示偶然现象背后的必然规律。

综上所述，数学教学中教师应以辩证唯物主义的观点阐述教学内容，寓辩证思维养成于知识传授之中，不断提高学生的辩证思维水平，以辩证唯物主义的观点分析问题解决问题，培养全面发展的高素质人才。

（作者单位：济宁医学院）