谈农村普通高中立体几何证明线线平行的教学技巧

本文转自：贵港日报

贵港市桥圩高级中学 覃剑华

农村普通高中学生与城市普通高中学生相比，农村普通高中学生的素质、学习能力等相对差一些，在广西农村的普通高中，这种情况尤为突出。以数学学科为例，农村普通高中学生数学基础比较薄弱，学习意愿不强，解题能力差，尤其在立体几何方面，农村普通高中学生高考立体几何考点知识极难拿分。为了改变这种不利的局面，农村普通高中数学教师要想方设法让学生对立体几何的解题能力得到相应的提高。特别是在证明“线线平行”这方面的考点，应该成为农村普通高中学生的一个得分点。要想“线线平行”这个考点成为学生高考拿分点，教学中，教师要教会学生对证明“线线平行”这方面的知识考点全方位地归纳总结，并且有针对性地训练。在归纳总结方面，我认为应该从以下两个方面入手。

一、从初中几何中归纳总结

（1）三角形的中位线问题；（2）四边形，特别是平行四边形、长方形、正方形、菱形、梯形等有关的“线线平行”的问题。我把这些用来证明“线线平行”的方法叫作“初中方法”，这些方法的思维要把证明平行的两条直线放到某一个三角形或者是某一个四边形里，然后利用三角形以及四边形有关的平行问题来证明“线线平行”。这些方法的优点是学生比较容易理解并掌握，缺点是证明步骤较多。

二、从高中几何中归纳总结

1. 几何法

（1）常规方法。我把“线线平行”“线面平行”“面面平行”这3种平行之间的互推方法叫作常规方法。由“线线平行”推出“线面平行”的理论依据是“线面平行”的判定定理：若一个平面外的一条直线平行于平面内的一条直线，则平面外的那条直线与这个平面平行；由“线面平行”推出“线线平行”的理论依据是“线面平行”的性质定理：若直线l平行平面一，且经过直线l的平面二与平面一相交于直线a，则直线l与直线a平行；由“线面平行”推出“面面平行”的理论依据是“面面平行”的判定定理：若平面一内的两条相交直线分别平行于平面二，则平面一与平面二平行；由“面面平行”推出“线面平行”的理论依据是“面面平行”的性质定理1：若平面一与平面二平行，则平面一内的任意一条直线都与平面二平行；由“面面平行”推出“线线平行”的理论依据是“面面平行”的性质定理2：若平面一与平面二平行，且平面三分别与两平面相较于直线a与直线b，则直线a与直线b平行。这三种平行，除了不能直接用“线线平行”推出“面面平行”之外，它们两两之间都可以互相利用互相推出，形成了既简单又复杂的三角关系。因此，要让学生做足有针对性的练习，做到熟能生巧的程度。

（2）特殊方法。我把用来证明“线线平行”的所有不是常规方法的理论依据都叫特殊方法，包括初中方法；高中教科书中的“平行线的递推关系”：若直线a与直线b都与直线c平行，则直线a与直线b也平行；“线面垂直”推出“线线平行”的定理：若直线a与直线b都与一个平面垂直，则直线a与直线b平行。证明“线线平行”的几何方法要么是跟常规方法有关，要么是跟特殊方法有关，教学中，要做有针对性的练习。

2. 空间向量法。空间向量法分为不建立空间坐标系法与建立空间坐标系法。不建立空间坐标系法是利用空间向量加减法的三角形法则与平行四边形法则来证明两个向量之间的等价关系，从而证得“线线平行”，这个方法常见于选择题或者填空题；建立空间坐标系法是在能建立空间坐标系的情况下常用的一种方法，它的理论依据是利用两直线的方向向量的坐标构成等价关系推出这两个方向向量平行，进而推出这两直线平行，这个方法常见于证明题。空间向量法的优点是学生不用过多的思考，也不用做太多的辅助线。缺点是要学生善于建立空间坐标系，而且要对向量的共线的内容掌握得比较好。经过多年高考的验证，用空间向量法比用几何法证明几何题，在得分方面更理想。数学老师平时的教学中，要引导学生多用空间向量法证明几何题。

证明“线线平行”，不管是几何法还是空间向量法，它们都有各自的优点与缺点，学生都要掌握好，才能确保在高考中，在立体几何这个考点上得到相应的分数。比如，2020年的广西数学高考题中的立体几何证明题，如果学生平时能熟练掌握这两种方法，那么不同层次的学生都能在考试中选择自己能用的方法，从而得到一定的分数。

农村普通高中的教育工作者，特别是数学老师，要全力以赴，努力提高农村普通高中学生的文化素养与科学素养，把学生培养成为符合国家要求的劳动者。因此，教师必须对所有的知识点做到充分的研究，从中找到适合农村普通高中学生的教学方法，让学生尽量多掌握知识点。