耦合谐振子可以被分解？《张朝阳的物理课》求解耦合谐振子的振动模式

经典谐振子与量子谐振子是怎么对应起来的？耦合在一起的两个谐振子应该怎么求解？7月16日12时，《张朝阳的物理课》第一百五十八期开播，搜狐创始人、董事局主席兼CEO、物理学博士张朝阳坐镇搜狐视频直播间，先从经典角度求解了一维谐振子，并指出经典简谐运动对应量子谐振子的某种特殊的叠加态，然后分别从经典、量子两个角度入手求解了耦合在一起的两个谐振子的运动，最终得知这样的耦合系统可以分解成两个不同频率的谐振子，分别对应两种不同的运动模式。

求解经典谐振子 介绍其在量子谐振子中的对应

课程一开始，张朝阳简要地复习了上一次直播课的内容，然后开始介绍起经典力学中的一维谐振子。假设弹簧的劲度系数是k，连接弹簧的粒子质量为m，平衡位置为坐标原点，那么粒子的势能为

在牛顿力学中，弹簧作用在粒子上的力等于粒子势场的负梯度，由于这里是一维问题，因此力为

根据牛顿第二定律，可得粒子的运动方程为

化简可得

这种形式的方程在以前的物理直播课中已经介绍过很多次了，张朝阳在这次直播课中直接写下了它的解：

其中，ϕ和A都是常数，ϕ是谐振子的初始相位，A是振幅。由上式容易得到粒子的运动速度为

粒子的总能量等于势能加上动能，因此，总能量为

可见，在经典情况中，能量E与振幅A与角频率ω有关。可是，在量子力学中能级是分立的，每个能级对应的是一个定态。而量子力学中的定态，在经典力学中并没有基础的对应。经典力学中的“粒子”运动，对应到量子力学中应该是波包的演化。假如波包的初始态是

那么这个波包随时间的演化为

如果读者感兴趣的话，可以计算得到谐振子的一个特殊的态，这个态对应于高斯波包，其中心位置随时间的变化恰好等同于经典谐振子随时间的变化。

（张朝阳求解经典一维谐振子）

分析经典耦合谐振子的运动 分解得到两种运动模式

考虑完单个谐振子的经典分析之后，张朝阳开始介绍两个谐振子耦合在一起的模型。他介绍说，这次的物理课主要沿两个线路进行，一个是经典线路，另一个是量子线路，接下来要介绍的就是耦合谐振子的经典分析。

与单个谐振子的情况一样，我们也只考虑一维耦合谐振子。假设两个谐振子的平衡位置分别处在x=a与x=-a处，两个谐振子的角频率都是ω，其质量都是m。这两个谐振子不是互相独立的，而是存在相互作用的，其相互作用势正比于两个粒子的距离平方。于是，可以将系统的总势能写为

其中，x1与x2分别是两个谐振子对应粒子的位置坐标，λ是与相互作用势有关的系数，在这里我们假设λ>0，不过即使λ小于0，只要λ大于-1/4，下面的分析依然适用。

根据势能表达式，第一个谐振子对应的粒子受到的力为

同理，可得第二个谐振子对应的粒子所受到的力为

由此可得两个谐振子的运动方程为

回忆以前我们对二体问题的处理，我们一般可以将二体问题分解成质心运动和相对运动两部分，因此，在这里我们也可以沿这个思路进行下去，看看能不能简化问题。质心坐标为

两粒子的相对位置坐标为

将前面的式(1)与式(2)相加并消去m可得

可见质心运动与相对运动无关，它等同于一个谐振子的运动，它的一般解为

将前面的式(1)减去式(2)，然后消去m，有

将x1-x2写为x_R，即得

可见相对运动也是与质心运动无关的，因此相对运动与质心运动互相独立。由于常数函数的导数为0，因此可以将上式改写为

这个方程的形式同样是谐振子的运动方程的形式，由此可以解得

其中ω_R为

这一个结果也可以改写为

由于我们假设了λ>0，因此ω_R>ω，换言之，相对运动以更大的角频率进行振动。当两个谐振子都处于平衡位置时，A=B=0，此时有

可见，由于耦合的存在，两个粒子的平衡位置不再处于x=a或者x=-a处了，而是处在更相互靠近的位置，使得平衡时x_R小于2a。

张朝阳进一步介绍，如果观看耦合谐振子中单个谐振子的运动，将会发现其运动是很复杂的。但是如果分别考虑其质心运动和相对运动，会发现这两者都是简单的简谐运动。在经典力学中，这样分解出来的简谐运动被称为运动模式。在我们这里的模型中一共有两个运动模式，其中一个模式是质心运动，代表的是两个粒子整体的运动，如果仅有这个运动模式存在，那么两个粒子的相对间隔保持不变，这两个粒子同步地以角频率ω作简谐运动；另一个模式是相对运动，代表的是两个粒子相对位置随时间的改变，如果仅有这个运动模式存在，那么这两个粒子的中心将一直处在坐标原点，两个粒子以相反的相位、以同样的角频率ω_R作简谐运动。张朝阳还强调，这两种模式都是集体运动，而非单个粒子自身的运动。

（张朝阳从经典角度分解出耦合谐振子的两个运动模式）

从量子角度求解耦合谐振子得到能级与量子态

如果从量子力学的角度来考虑耦合谐振子，那么就需要从哈密顿量及算符入手。此系统的哈密顿算符为

注意，上式的x1、x2、p1、p2都是算符，为简单起见，我们省略了其上的hat算符记号。

回忆氢原子问题上的处理，我们将氢原子的运动分解成了质心运动部分和相对运动部分。接下来我们将仿照其中的过程来分析。首先，质心坐标算符和相对位置算符分别为

系统的总质量为M=m+m=2m，约化质量为μ=m×m/(m+m)=m/2，因此总动量算符和相对动量算符分别为

aa注意到x1、x2、p1、p2之间的对易关系为

由此容易证明下面六个对易关系：

所以x_C与p_C是一对互相共轭的位置算符与动量算符，x_R与p_R是另一对互相共轭的位置算符与动量算符。

从p_C、p_R与p1、p2的关系可以反解得到

借助对易性p_C p_R=p_R p_C，有

另一方面，借助x_R、x_C与x1、x2的关系反解出x1、x2可得

同样，借助上式以及x_C与x_R的对易性，势能可以改写为

对上式最后一行方括号中的式子进行配方可得

将其代入前面势能的表达式中，有

综合上述结果，可以知道哈密顿算符能够被写为

注意到p_C与x_C是一对共轭的动量、坐标算符，以及根据[x_R,p_R]=iћ可以得到

所以这一对算符也可以看成是一对共轭的坐标、位置算符，于是，前述哈密顿算符可以分解成两个谐振子哈密顿算符（以及一个常数）：

第一个谐振子的质量为M，角频率为ω，相应的能级公式为

第二个谐振子的质量为μ，角频率与能级公式分别为

可见，这两个等效谐振子的角频率与前面从经典力学角度得到的简谐运动模式的角频率是一样的。整个系统总的态空间是这两个谐振子的态空间的直积：

由这两个谐振子的能量本征态可以得到整个系统的能量本征态为

设这两个谐振子各自的升降算符分别为

于是整个系统的能量本征态可以写为

这个态所对应的能量本征值为

至此，整个系统的能量本征态与能级都被求解出来了。

（张朝阳求解耦合谐振子的能级与能量本征态）

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