为什么谐振子能量是分立的？《张朝阳的物理课》求解一维量子谐振子

为什么谐振子的能量是分立的？一维谐振子的波函数是怎样的？7月2日12时，《张朝阳的物理课》第154期开播，搜狐创始人、董事局主席兼CEO、物理学博士张朝阳坐镇搜狐视频直播间，从一维谐振子的薛定谔方程出发，经过变量代换将方程化成了非常简洁的形式，然后通过分析方程的解的渐近行为得到其指数衰减部分，最后通过幂级数系数的递推关系得到了波函数的另一部分，并且求出了谐振子各个能级所对应的能量。

变量代换化简薛定谔方程 分析渐近行为得指数衰减部分

课程一开始，张朝阳给网友们介绍了量子力学对于物质结构的重要性。如果没有量子力学，那么原子将不会是稳定的结构，相应的物质也不会稳定地存在。正是因为量子力学的存在，才会使得各个原子对应能态都是一样的，百万年前的基态氢原子与现在的基态氢原子没有任何差别。处于基态的原子也不会因为受到一点扰动而变得不稳定。如果氢原子可以向经典力学那样连续地变化，其电子就会像行星绕着恒星运动那样，具有连续的绕核轨道，这样必然会导致氢原子之间存在千差万别，原子结构也会变得不再稳定，昨天的你和今天的你都不一定是同一个人了。

介绍完背景，张朝阳开始分析一维量子谐振子。一维谐振子是物理学中经常遇到的模型，不管是经典层面的谐振子，还是量子层面的谐振子，在之前的物理课中都有过详细的讲解。此次直播课再次回到谐振子上，以更加详细的方式进行了阐释。一维谐振子的势能为

由此可以得到一维谐振子的哈密顿算符在位置表象下的形式为

其中m是粒子的质量，ω=√(k/m)是谐振子对应的简谐运动角频率。对于薛定谔方程

对其进行分离变量之后可以得到定态薛定谔方程

将哈密顿算符的表达式代入，可以得到

上式两边同时除以-ћ^2/(2m)，适当变形可得

为了简化起见，定义

那么前一式可以简写为

这样定义出从上式可以看出，定义ξ=αx可以进一步简化表达式，进一步的，由于α具有长度的倒数的量纲，来的ξ将是无量纲的量。借助变量ξ，可以得到如下方程：

在以前的课程中张朝阳介绍过可以使用幂级数法来求解这一类的方程。如果设

将其代入前一个式子然后合并ξ的同类项，那么会得到一个新的关于ξ的幂级数。这个新的幂级数的系数与原幂级数的系数具有怎样的关系呢？为此，可以考虑新幂级数的ξ^k项，在前面倒数第二个式子中，对ξ的二阶导数将会让幂级数的项的次数减2，因此通过二阶导数之后贡献给ξ^k项的项必然是a_{k+2}ξ^{k+2}。接下来观察(λ-ξ^2)对应的项，容易知道这一项会使得a_kξ^k与a_{k-2}ξ^{k-2}贡献给新幂级数的ξ^k项，因此新幂级数的ξ^k项的系数是a_{k+2}、a_k、a_{k-2}三个系数的线性组合。如果让新幂级数等于0，那么将会得到一个由a_{k+2}、a_k、a_{k-2}构成的递推公式，这样的递推公式求解起来比较复杂，因此需要寻找别的出路来简化所得的递推公式。

一种可行的思路是，先分析方程的解在自变量变得很大时的趋势，然后再对解的另一部分进行幂级数求解。为此，张朝阳考虑了ξ趋向于无穷大的情况，此时可以只考虑方程中占主导地位的项，方程可以简化为

通过观察这个方程，假设解的趋势与e^{βξ^2}一致，其中β是一个待定的系数。将其代入上式，可得

其中上式第一个约等号是因为假设了e^{βξ^2}近似满足方程，最后一个约等号是因为在ξ趋向于无穷大的情况下只需要考虑占主要部分的项。对比上式最左边与最右边可得β^2=1/4，所以β=±1/2。考虑到定态波函数可归一化的要求，张朝阳舍去了β>0的解。

得到了解的渐近行为之后，张朝阳设

将其代入原来的方程，消掉指数函数因子，化简可得

其中的撇号数量表示对ξ求导的次数。张朝阳没有在课上展示如何推导出这个式子，但他鼓励网友们自行尝试将该式子推导出来。

（张朝阳根据渐近行为分离出波函数的指数衰减部分）

幂级数方法得递推关系 分析趋势得能级表达式

接下来可以使用幂级数法来求解u(ξ)了。设

将其代入前面的方程，可以得到一个新的幂级数，并且这个幂级数是恒等于0的：

为了求出b_k的具体表达式，需要仔细分析前面关于u(ξ)的方程的各项，比如u''项，会由原来的幂级数的a_{k+2}ξ^{k+2}项经过两次求导得到

这一项。其他各项也可以类似分析，具体的对应关系如下：

由此得到

考虑到b_k=0，于是可以得到u(ξ)幂级数的系数的递推公式：

所以

张朝阳提醒网友们，这个递推关系是间隔一项，从a0到a2再到a4，或者从a1到a3再到a5，“跳着走的”。因此，可以将u(ξ)幂级数改写为

容易知道，上式中的u0和u1满足

换言之，u0和u1分别是u的偶函数部分和奇函数部分。

另一方面，一维谐振子的势场是关于原点左右对称的，因此可以通过选取特定的能量本征态使得对应的概率分布也是关于原点对称的。于是，为了满足概率密度是关于原点对称的，u(ξ)必须满足

可见u(ξ)要么是偶函数，要么是奇函数。当u(-ξ)=u(ξ)时，因为

所以u1(ξ)=0。同理，当u(-ξ)=-u(ξ)时，可以得到u0(ξ)=0。因此，我们不需要同时考虑u0和u1，在特定的奇偶性下只需要单独考虑u0或者u1即可。对于u(-ξ)=u(ξ)的能级，此时u1(ξ)=0，只需要考虑

即可；对于u(-ξ)=-u(ξ)的能级，此时u0(ξ)=0，只需要考虑即可。

张朝阳考虑了u(-ξ)=u(ξ)的情况，对于u(-ξ)=-u(ξ)的情况，可以类似得到。根据递推公式，有

其中双感叹号表示关于偶数k的双阶乘，比如对于函数f(x)，那么f(k)!!表示

对于奇数k，也可以定义相应的双阶乘：

回到a_{k+2}的表达式中，对于(2k+1-λ)!!，此时相当于f(k)=2k+1-λ，于是

由于k的取值是间隔2的，因此对于常数λ，存在非负偶数k0使得

设ε=2k0+1-λ，于是

于是

其中，n=k/2。从这个结果可以看出，所有k>k_0的系数a_{k+2}，其正负号都是一样的。当ξ足够大时，u(ξ)的渐近行为由k>k_0的项决定。而当k足够大时，有

所以

（注：这个渐近等价关系严格上来说是不成立的，如果要得到后文想要的结果，则需要更细致的分析。为了避免陷入繁琐的数学细节中，我们忽略其中的数学难点。）又因为

所以

于是，当ξ趋向于无穷大时，有

这就导致了

这个函数在整个实数轴上的积分是无穷大，因此是无法归一化的。这是否意味着一维谐振子的定态方程无解呢？事实上并非如此。考虑a_{k+2}的表达式，可以发现当k大于k0时有

可见当k大于k0时，a_{k+2}是正比于ε的，因此，只要ε=0，那么当k大于k0时，a_{k+2}都等于0，此时u(ξ)的无穷级数截断成了多项式。对于多项式u(ξ)，波函数

必定是可以被归一化的，这时候前面遇到的矛盾就被化解了。

对于ε=0，此时

前面讨论的都是u(-ξ)=u(ξ)的情况，此时k0只能取非负偶数。对于u(-ξ)=-u(ξ)的情况，也一样会得到上式，这种情况下k0取非负奇数。综合两种情况可以得到λ=2k0+1，其中k0可取任意非负整数，于是λ只能取正奇数的值。

考虑到

这样可以得到

从这个结果可以发现两点：1、谐振子的定态能量只能取离散的值，这是量子力学区别于经典力学的主要特点之一；2、一维量子谐振子的最低能量不是0，而是ћω/2，这就是谐振子著名的零点能。在经典力学中，谐振子可以处于原点静止不动，此时它的能量为0，由此可见零点能也反映了经典与量子的区别。

最后，张朝阳还求解了k0比较小时的谐振子波函数。当k0=0时，有

此时波函数为

当k0=1时，有

此时λ=2×1+1=3，所以

根据递推关系，可以知道a5、a7、……都等于0。于是波函数为

当k0=2时，有

此时λ=2×2+1=5，所以

根据递推关系可以知道a6、a8、……都等于0。另一方面，有

所以波函数为

原则上，可以根据递推关系求出谐振子任意能级的波函数。

（张朝阳分析谐振子的能级与最低几阶的波函数）

据了解，《张朝阳的物理课》于每周周五、周日中午12时在搜狐视频直播，网友可以在搜狐视频APP“关注流”中搜索“张朝阳”，观看直播及往期完整视频回放；关注“张朝阳的物理课”账号，查看课程中的“知识点”短视频；此外，还可以在搜狐新闻APP的“搜狐科技”账号上，阅览每期物理课程的详细文章。返回搜狐，查看更多

责任编辑：