黎曼猜想被证明了！

【新智元导读】著名数学家、现年90岁的MichaelAtiyah在海德堡获奖者论坛上发表演讲的论文预览版，宣布世纪数学难题“黎曼猜想”被证明。

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黎曼猜想被证明了！

至少根据世纪最著名的数学家之一、菲尔兹奖获得者和前英国皇家学会主席MichaelAtiyah爵士刚刚在海德堡获奖者论坛上发表的演讲。

当地时间2018年9月24日上午9点45分，北京时间9月24日下午15点45分，现年90岁的MichaelAtiyah爵士将登上了海德堡论坛，开始了他的演讲——黎曼猜想。

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根据他事先提供的演讲摘要：“黎曼猜想是1859年提出的著名问题，至今悬而未决。我会基于冯·诺依曼（1936）、希策布鲁克（1954）和狄拉克（1928）的相关工作，给出一个使用全新方法的简洁证明。”

今天上午，相关论文预印版已经公开（虽然署名Atiyah，但目前还不能证实是否出自本人之手），单从长度看，确实担得上“简洁”，一共只有5页。

论文摘要中写道，作者希望理解量子力学中的无量纲常数——精细结构常数，并将此过程中发展出来的数学方法用于理解黎曼猜想。

一分钟看懂黎曼猜想及其被证明的意义

“黎曼猜想”是数学界迄今最重要的猜想之一，被克雷数学研究所列为“有待解决的七大千禧问题”，并悬赏100万美元给第一个提供证明或证伪的人。

黎曼猜想之所以重要，主要是因为在现代数学中，有很多深入和重要的数学、物理结果都能在它成立的前提下得到证明。如今，大部分的数学家都倾向于相信黎曼猜想是正确的。

因此，如果黎曼猜想被证明，大家都松了一口气，我们得到了一项很好的数学工具；但是，如果黎曼猜想被证伪，那很多数学、物理结果都得推翻重来。

伯恩哈德·黎曼（BernhardRiemann，1826-1866）

黎曼猜想最初于1859年由德国数学家波恩哈德·黎曼提出。简单说，就是根据一个重要的数学公式，能够画出无穷多个点。黎曼猜测说，这些点有一定的排列规律，一部分在一条横线上，另一部分则在一条竖线上，所有这些点都在这两条直线上排列，无一例外。

黎曼Zeta函数可视化

由于这些点有无穷多个，所以理论上是没有办法证明是不是所有的点都在这两条线上，因为永远也验证不完。

但是，只要找到了一个点不在线上，那就推翻了黎曼猜想。

现在，数学家使用计算机，已经验证了最初的15亿个这样的点，全都符合黎曼猜想的排列规律。不过，至今尚无人给出完整的理论证明。

因此，3天前，2018年的德国海德堡获奖者论坛日程公布，MichaelAtiyah将会做一场关于“证明黎曼猜想”的报告的消息便迅速传遍世界，无论是数学、物理还是计算机，甚至完全不相干的各路吃瓜群众，全都开始关注这一焦点。

MichaelAtiyah爵士：本世纪最伟大的数学家之一，90岁发出豪言壮语

MichaelAtiyah（1924-）是当代著名数学家，主要研究领是几何，他于1966年获得4年颁发一次的数学界最高奖菲尔兹奖，而且在1990-1995年担任英国皇家学会主席。

MichaelAtiyah（1924-）

Atiyah最重要的工作都是在上世纪六七十年代完成的。但作为一位年届九旬的科学家，他仍然活跃在学术前沿，并时常有惊人之举，2016年他因为给出一个“6维球面上不存在复结构”的证明被质疑而颇具争议。

黎曼猜想本身非常难，所以在MichaelAtiyah证明黎曼猜想的消息公开之后，社交媒体上多数人仍在观望，毕竟太多人都曾声称自己证明了黎曼猜想但之后却被推翻，连大数学家哈代也犯过这种错误。

Atiyah本人也很清楚这种失败的历史。“没有人相信任何关于黎曼假设的证据，更不用说一个90岁的人来证明，”Atiyah在接受外媒《新科学家》采访时表示。但是，他希望他的演讲能说服批评者。

《新科学家》随后联系了一些数学家对Atiyah声称的证据进行评论，但他们都表示拒绝。近年来，Atiyah已经写了很多论文，但这些论文迄今为止未能说服他的同行。

“人们常说‘数学家都是在他们40岁之前就把最好的工作做出来了’，”Atiyah说：“我想告诉他们，他们都错了。我90岁的时候也能做点什么。”

黎曼猜想为何这样难证？与幻想的证明思路

德国海德堡获奖者论坛（HeidelbergLaureateForum）是一个由国际顶级奖项（图灵奖、阿贝尔奖、林奈奖、菲尔兹奖）得主与青年学者交流的研讨会，自2013年开始举办，顶尖学者每年齐聚一堂，相关讨论在数学届甚至整个科学界都受到广泛关注。在这样一个大场合，倒配得上公布黎曼猜想得证的消息。

关于黎曼猜想及其证明究竟是什么，希望看到专业内容表述的读者，以下内容来自知乎用户禀临科技联合创始人PENGBo的回答《黎曼猜想为何这样难证？与幻想的证明思路》。新智元经授权后将其转载如下，原文链接：

在Atiyah大新闻前夕，把从前的这个草稿写完吧。本文的标题是许多学数学的同学会问过的问题。如果能真正回答这个问题，就离解决黎曼猜想（RH）不远，所以这个问题很难回答。这里是从前的一点想法，请专家指正（没接触过这些的朋友可以看最后面，有个小问题是容易懂的）。

今天网上流传的Atiyah的5页论文，黎曼猜想（目前大家还不确定是不是Atiyah写的）：传闻Atiyah同时公布了一篇可能更厉害的论文（目前大家还不确定是不是Atiyah写的），算精密结构常数（约等于1/137的那个）：

难点一：如果黎曼猜想（RH）被证否，并不会有特别严重的后果。

必然如此，如果有严重后果，那么就可以直接用反证法证明RH了。可与费马大定理的情况比较。费马大定理如果是错误的，那么椭圆曲线就没有了modularity，这个给人的感觉不好。所以最终费马大定理更容易被证明。但是如果RH有反例，只能说明许多需要靠假设RH成立的定理需要重新找方法证，并不能说明这些定理是错误的。历史上有不少起初需要靠假设RH成立，后来就不需要的例子。如Gauss的类数问题，质数分解的算法，等等。所以，RH实际属于，如果成立非常好，但如果不成立，好像天也不会塌下来，只能说明质数具有某种意想不到的"conspiracy"。正如Iwaniec说过的：

Analyticnumbertheoryisfortunatetohaveoneofthemostfamousunsolvedproblems,theRiemannHypothesis.Notsofortunately,thisputsusinadefensiveposition,becauseoutsiderswhoareunfamiliarwiththedepthoftheproblem,intheirpursuitfortheultimatetruth,tendtojudgeourabilitiesratherharshly.InconcludingthistalkIwishtoemphasizemyadvocacyforanalyticnumbertheorybysayingagainthatthetheoryflourisheswithorwithouttheRiemannHypothesis.Actually,manybrillianideashaveevolvedwhileonewastryingtoavoidtheRiemannHypothesis,andresultswerefoundwhichcannotbederivedfromtheRiemannHypothesis.So,donotcry,thereisahealthylifewithouttheRiemannHypothesis.IcanimagineacleverpersonwhoprovestheRiemannHypothesis,onlytobedisappointednottofindnewimpotantapplications.Well,anawardofonemilliondollarsshoulddrythetears;noapplicationsarerequired!

难点二：关于zeta函数，目前的结论集中在functionalequation即modularity即Langlands层面。但RH是更高一个层面的结论。

因为容易写出和Riemannzeta长得很像而且也具有函数方程、解析延拓，但是不满足相应RH的Dirichlet级数，例如Davenport-Heilbronn的例子。对于函数方程，我们在很多zeta函数上都已经会证。但是对于RH，我们连最简单的数论情况都不会证。由于函数方程的层面是poissonsummation/traceformula，个人的感觉是，可能traceformula并不足以对付RH。不过或许最广义的Langlands还是有可能在这里起作用。那么，如果说函数方程、解析延拓（以及某些增长速度之类）还不足以推出RH，到底还需要Dirichlet级数的什么性质？从Selbergclass看，还需要的是Euler积。

看上去很普通的Euler积，其实是很神秘的。怎么正确用上Euler积是个问题。

难点三：很难说出RH在模形式那边的对应物。

很难说"一个满足RH的Dirichlet级数"在Mellin变换后会变成满足什么性质。所以这种道路似乎是困难的。难点四：我们会证某些RH的类似物，但不知道怎么把结果转化到数域上。

经典的例子是Weil猜想的情况。由于2维的Weil猜想可以通过考虑CxC证，所以许多人希望用类似的办法证RH，比如发展F_1然后看是不是可以把Z看成F_1x_ZF_1。但目前还没有人知道怎么做。Deligne对于高维Weil猜想的证明，实际在本质上也是类似的思路。而且这又涉及到一个经典问题："frobeniusinchar.0"是什么？无法回答。Connes的非对易几何对此曾试图有话要说。总之，几何的方法，目前可以对付localfield，对付char.p，对付函数方程，但仍然很难对付globalfield的RH。还有一些很玄的方法，比如随机矩阵，比如SpecZ是三维的，比如物理Hamiltonian的思路，等等等等。大家知道，面对很难的猜想，大家攻击不进去，都会在它旁边转来转去，有时转来转去就自动开了，更多的时候还是总得要暴力攻击进去。我觉得这些转来转去可能是越转越难。令人困惑的问题仍然是：

怎么把Euler积这个条件正确地用上？

如果不用上这个条件，肯定不可能证出来RH。因为不用上就有反例。

Naive地看，Euler积就是算术基本定理，就是classnumber1，但然后又怎样呢，不容易继续。也许先找到怎么证specialvalue的系列猜想（Beilinson/Tamagawaetc）会相对简单些。

结语：幻想的证明思路

虽然不知道怎么证，不过可以幻想怎么证。

我猜，Weil猜想的证明方法可能会有一点启示。Deligne对于Weil猜想的证明，最终是靠一个常见而强大的技巧，考虑：

可以证明：

即：

令k->∞，再运用函数方程，证毕。

简单地说，先证明能往中间推一点（k=1），然后找到【只要能推一点，就可以不断往中间推】的办法（k->∞），最终就推到中间了。

遗憾的是，对于RH，第一步目前仍然是做不到的。第二步也做不到，因为Z目前没有合适的代数几何结构。

或者RH需要通过反证法证。那么需要找到足够坏的反面推论。证明有了一个坏零，就可以越推越荒唐（有某种“动力系统”）。这个过程肯定是需要函数方程和迹公式，更奇怪的还是怎么用Euler积。用通俗的话说，要证明这么难的问题，肯定需要将所有条件都用上。

这种反证法有点类似现在传闻的Atiyah的5页证明的一些方法。这个传闻的5页证明很神，好像都没看到函数方程用在哪里...所以不知道真伪。

我不相信RH可以用纯解析的方法证。从前Branges的证明是纯解析，现在传闻的Atiyah好像也是纯解析。zeta有很多解析性质，但并不是zeta独有的，例如像zetauniversality之类的东西都不是独有的，我认为都是不足够证明RH的。

说起来，很欣赏望月新一对于BSD的某句话，他说我们要走得更深，考虑像加法和乘法这种操作的本身的变形。也许只有这样，才能给我们足够的灵活性去证明那些最难的结论。

返璞归真：Errorterm问题

其实，RH最返璞归真地从代数的角度看，是对于errorterm的估计。但是errorterm的问题很难，我们连高斯圆问题都证不出来。这里以后也许会成为一种突破口，先把高斯圆问题给解决再谈RH吧。高斯圆问题现在都是用纯解析方法推，目标是0.5+ε，目前推到131/208=0.6298...就推不动了。

下面介绍高斯圆问题，又叫圆内整点问题。大家可以多关注这个问题。我们在格点纸上画个半径为r的圆，里面当然大致就有pir^2个格点。

那么这个估计的误差E(r)是多少呢？

很明显肯定是O(r)，因为误差首先约等于圆的边长（这是很漂亮的几何观点，其实classnumberformula就是这样来的），例如高斯证明了：

但是圆很规则，实际上误差更小，大家猜是：

用Voronoi可以证O(r^{2/3})，现在可以证明到O(r^{131/208})。这个问题属于看上去很简单，实际非常难。有兴趣的可以想想。

下面继续看RH。民间数学家最流行的是证明哥德巴赫猜想，然后是费马大定理，因为这两个的表述足够简单。RH的解析表述让民间数学家看不懂。不过如果把RH写成errorterm的等价命题：

或者Mertens函数的等价命题，民间数学家就也可以看懂了。

但是代数的方法目前很弱，连primenumbertheorem都做不动。现在还没有神奇的可以进攻errorterm问题的代数方法。如果RH最终证明同时用很深的代数和解析，那么肯定是一个很漂亮的证明。

（本文最后一小节内容授权转载自知乎用户PENGBo的回答，点击圆度原文了解更多）

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