最好的数学工具

本文转自：光明日报

作者：蕾切尔·克罗韦尔 陶兆巍

《光明日报》（ 2023年11月30日 14版）

“许多人不明白，其实有好多数学问题我们人类是不知道如何解答的，”哈佛大学拉德克利夫高等研究院的数学家梅拉妮·马切特·伍德说。前不久，她因寻找这些未知谜题的解决方案而获得了麦克阿瑟奖（MacArthur Fellowship，该奖项旨在表彰“极具才华和创造力的个人”），奖金高达80万美元，且不附带任何条件。

伍德的研究“直指数论中的核心问题”，因此备受认可。数论这门学科关心的主要对象是自然数。而在自然数中，最重要的一类就是素数，它们也是伍德最关心的数学对象之一。她大部分工作都用到了算术统计学（arithmetic statistics）领域的工具，这个领域专门研究素数和其他数“统计上的行为模式”。她已经开始着手研究整数系统（指0和所有正负整数）以及其他“扩展整数”系统中素数性质的问题。例如，所有形如a+b[~符号~]（其中a和b都是整数）的数就可以构成一种扩展整数系统。她还使用了数学中不同学科的多种工具来帮助解决那些极具挑战性的问题。

“这项工作的本质就是有一个我们没有办法解决的问题，需要想一个方法攻克它”，伍德说，“这和我们在学校学习数学的经历差别太大了，几乎就是看书和写书的区别。”

伍德谈到了她获奖的经历、她最喜欢的数学工具以及解决那些“高风险、高回报”问题的方法。

以下是采访内容：

问：数学问题的哪些方面激发了你的兴趣？

伍德：我非常享受钻研与基础结构相关的数学问题，它们是数学领域的底层框架，比如整数的结构。然而，目前我们还没有任何工具可以用来解答它们。尽管这些问题很难，但这种挑战让我感到非常兴奋。

问：如果让你构建一个数学的“工具箱”，其中需要放入你认为最有用的数学工具和想法，你会放些什么？

伍德：最关键的工具之一是有意愿去观察大量具体的例子，并尝试去关注这些例子呈现出的特殊之处，而这些特殊的现象有时就会把其他数学领域的工具带入研究。例如，尽管我在研究素数问题，但我可以使用从概率论到几何等不同的数学工具。另一个重要工具则是敢于尝试那些不一定会成功的工作，但要有从失败中学习经验的能力。

问：你最喜欢哪个素数？

伍德：我最喜欢的数是2。2是一个素数，它也是我最喜欢的素数。2这个数字看起来很简单，但却可以由它产生非常丰富的数学现象。比如，2可以决定一个数学对象的奇偶性。在比较复杂的数学情景中，仅考虑数字的奇偶性就已经能带来巨大的收获。我喜欢2，因为它虽然数值很小，在数学中却很强大。有一个有趣的故事：我曾在杜克大学就读，那时我是学校数学竞赛团队的成员。每个成员的队服后面都印着数字，许多人选择的数字是像π或[~符号~]这样有趣的无理数，但我选择了2。当我从杜克大学毕业时，他们也让我的2号比赛队服退役了。

问：你一直是从算术统计学角度来着手你的数论研究吗？

伍德：从研究生阶段接受科研训练开始，我就一直从算术统计学的角度出发看待问题。我希望能通过这门学科理解数字的统计模式。最近，我在处理这些问题时有一个很大的转变，就是大量引入概率论的方法。经典意义上，概率论就是研究数字分布的规律。比如你可以测量海洋中鱼的体长或学生的考试成绩，由此得到一份数字分布结果，然后你需要尝试理解这些数字是如何产生这种分布模式的。就我现在正在做的工作而言，我们需要更多像概率论这样的数学工具。因为在分析数据时，我们不只是测量每个数据点的值，还会提取更复杂的结构信息——比如，这些数据的结构可能构成了一个具体的形状。那从这个形状中，我们又能提取一些特征信息，比如“它有多少条边”，而且形状并不仅仅是一个或几个数字，它包含了更多的信息。

问：获得麦克阿瑟奖对你而言意味着什么？

伍德：这是一个巨大的荣誉。最令我激动的是，麦克阿瑟奖真正褒奖的是创造性。虽然多数人会将创造性与艺术联系起来，但很显然，要想攻克那些没人知道答案的数学难题，哪怕只是取得一些进展，都需要创造性的思考与工作。我很高兴数学领域也认可这一点。

问：哈佛大学的数学家迈克尔·霍普金斯将你在三维流形上的工作描述为“几何和代数的绚丽组合”。什么是三维流形呢？

伍德：三维流形就是一个三维空间，如果你只是在一个微小的尺度内研究它，它看起来会与我们熟悉的现实世界的三维空间无异。但如果你在这个空间里走了很久，有可能会发现一些令人吃惊的连通性。比如，你朝着某一个方向一直走，最后却有可能回到你起始的地方。这听起来可能有些奇特，不过你可以想象有两种不同的二维空间。第一种是普通的平面，你可以在平面上向任意方向沿直线行走，永远都不会回到起点。另一种则是球的表面，如果你朝某个方向走，最终却会绕回来。因为我们生活在三维空间中，所以能想象这两种不同的二维空间。但实际上，有些超出我们想象力的三维空间也具有类似的有趣性质，它们与我们熟知的三维空间不同。但倘若身处其中，我们或许也能像在球面上行走那样“兜圈子”。

问：你研究这些空间的工作的核心是什么？

伍德：我们发现，具有特定属性、特定种类的三维空间是否存在，与在空间中如何能“兜圈子”的方式有关。我们无法展示、构建甚至描述这些空间，但通过概率论的方法，我们可以证明它们存在。如果能证明，你可以对某个空间随机地进行某种操作，并且操作成功的概率为正数，那么无论这个概率多小，你都可以通过某种方式构造它，因此这个空间一定存在。这是一个非常巧妙的技巧，数学家可以在无法找到某些对象的情况下，确认它的存在。

问：2021年，你受到美国国家科学基金会沃特曼奖（Alan T. Waterman Award）表彰，获得了100万美金。《哈佛公报》（Harvard Gazette）指出，你计划用这笔资金来挑战一些“高风险、高回报的项目”。这类项目有哪些例子呢？

伍德：为比数字更复杂的数学结构发展概率论，就是一个例子。这种项目的风险极高，因为我们根本不确定它是否能够成功实现，甚至即使实现了，它也许也不会像我期望的那样有用。因为并没有明确的蓝图能够说明，最终的结果将会是怎样。但如果真的能够成功，它可能会成为一个非常强大的工具。

（撰文：蕾切尔·克罗韦尔 翻译：陶兆巍）

（本文由《环球科学》杂志社供稿）