我做学问的经验

本文转自：中国科学报

《真与美：丘成桐的数学观》，丘成桐著，江苏凤凰文艺出版社2023年8月出版，定价：88元

■丘成桐

编者按

为什么学数学的人也要学物理？为什么上课要记笔记？动笔做题很重要吗？

近日出版的《真与美：丘成桐的数学观》一书结集了丘成桐近半个世纪以来探讨数学和人文教育的系列文章。本报特摘编丘成桐关于学数学如何培养基本功夫的相关内容，以飨读者。

培养好基本功夫

做研究的道路是很漫长的，我们需要在研究低潮的时候还能够坚持做下去。很多做研究的人，觉得自己若不在世界科研中心，便做不出重要的研究。可是有些人在科研最负盛名的地方做研究，也不敢去碰困难的题目。这种现象有很多不同的原因，等一下我们再慢慢谈，可是我想最要紧的是基本功夫没做好。

在我们上中学、大学或者在研究院做研究生的时候，基本功夫都要赶快培养好。很多学生在年轻的时候没有将基本功夫做扎实，以后做研究时就很吃力。

另一方面，现在大家都喜欢谈应用数学，其实大部分应用数学的主要工具和想法都是从基础数学来的。但是很多学生认为，他们既然是学应用数学就不用学基础数学，或者是学应用物理就不必学理论物理了，这是很大的错误。其实没有基础数学和理论物理的支持，应用科学不可能有重要的突破。

基本功夫一定要在做学生的时候学好。为什么呢？因为在这段时间，我们愿意去做习题，并且会大量地练习，这是学习基本功夫的必要过程。

我相信很多本科毕业或是拿了博士学位的学生，做研究时不会再去做习题，遇到一些比较复杂的计算时，也不愿意仔细地去计算，殊不知很多基本的想法就是从复杂的计算里面领悟出来的。一项研究，最终只看到很简单、漂亮的结果，但是中间可能经过大量的计算。

好的研究不是一朝一夕得来的，往往做了100次的计算，99次都是错的，最后一次才是成功的。但作者只会宣布成功的结果，不会告诉你他前99次失败的经验。

错误的经验往往是很好笑的，很多错误要在做完题目的时候才发现。有些错误其实是很明显的，可是当作者描述自己的结果给别人听的时候，不会讨论错误的那部分，一方面作者可能不知道自己的错误在什么地方，另一方面发生错误的地方可能很模糊，讲不清楚。

其实了解到自己如何犯错后，我们的眼睛会更加明亮，犯错的经验反而会帮助我们了解问题，让我们找到新的方向向前走。其实能够得到错的结果，已经是很不错了，因为很多初学者连怎么着手做题目都不知道。比如说，你给我一个化学题目，该从什么地方入手我都没有头绪，因为我没有掌握化学任何的基本功夫。

要掌握两门以上学科

一个好的数学家至少要掌握两门以上很基本的功夫。数学有很多分支，如代数、分析、几何等种种不同的方法，我们在中学的时候就开始学。有些人喜欢几何，觉得代数没有什么意思不想学，或者是学代数的人不想学几何，各种想法都有。可是最后我们发现，真正做数学研究的时候，全部方法都需要用到。

有些人做了数学中某个特殊方向的题目后，就用全部精力继续做这方面的工作，不去做其他题目了。少数学者能够精益求精地做出深入的工作，但是大部分人却只能在同一个方向做一些琐碎的工作，连原来那方面的问题也不见得做得好。

数学不停地发展、不断地改变，自然界提供给我们的问题，不会因为你是几何学家，就持续不断地提供几何方面的问题，而往往是与几何结合在一起的。这些题目需要用到其他工具，如果事先没有掌握这些工具，相比其他人就吃亏了。

例如，数学中有一门很重要的学科，叫“群表示理论”。很多高校不教这门课，可是它在许多应用科学与理论科学中都要用到。很多著名数学家和物理学家都能够熟练地运用“群表示理论”来分析问题。假如我们没有学过这些就吃亏了，这是基本功夫没有做好的缘故。在中国，“群表示理论”大概是进了研究院或者大学后半程才开始学习的。中国数学家在这方面的训练不够，因此在应用“群表示理论”时不如国外学者。由此可见，基本学科一定要学好，同时要很早就学。

学数学也要学物理

我们学数学的人不单要学数学的基本功夫，也要学物理的基本功夫，并且在大学时就要学。对于力学、电磁学和量子力学，我们都要有一定的了解，近几十年物理跟数学越走越近，很多数学问题是物理学提供的。假如对这些基本的观念完全不了解，我们理解题目就比不上懂这方面的学者，他们能够很快地融会贯通。

理论物理、应用数学或其他科学引发很多数学问题，它们甚至提供了这些问题的直观看法和解决方法。数学中有很多悬而未决的问题，往往因为其他科学带来的想法而得到解决。假使我们从来都不接触其他科学，就完全落伍了。

举个例子，代数几何学近70年来有了长足的发展。可是到了近30年，一些古典方法无法解决的问题，理论物理却帮助我们看到了以前看不到的地方。由于本身知识的局限，很多代数几何学家遇到这些困难的时候，没有办法接受这些专家的看法。可是物理学家确实指明了解决一些代数几何问题的方向，代数几何学家又觉得很难为情。因为他们不懂物理学，没有办法去了解物理学家的想法，这是一个令人困扰的现象。

假使我们年轻时不肯学物理学的基本功，就没有能力接受这些新的挑战。

记得我看过一本Joseph Wolf写的书，在“序言”里，作者感谢美国芝加哥大学代数学教授Adrian Albert。为什么感谢他呢？作者说：“Albert教我代数，使得我坐下来的时候，看到代数的问题不会恐慌，使我能够有信心地去解决这些代数上的问题。”

我们的基本功能不能做到如此，就要看当遇到数学问题时，能不能够坐下来有信心地去想办法对付它，我想这是做学问很重要的过程。我们看到数学问题时，往往恐慌得不晓得怎么办，因此就放弃了，我想大家都有这个经验。

一定要做到看一个题目时，即使是历史上未解决过的问题，你还是可以坐下来，花工夫想办法去解决它。即使你不能够解决它，你至少要有一定的想法去应对这个问题，不会因此恐慌甚至放弃。我想这种训练是最重要的。

当一个深奥的题目出现的时候，我们往往因为基本功没做好，就拒绝接受它，认为这些题目不重要，这是能力有缺陷的学者解释自己为什么不能去做某些问题时最常见的想法。结果是，“重要的问题来了，却眼睁睁地看着别人解决它，自己却无能为力”。著名物理学家泡利就曾经说过这样的话。

爱因斯坦是个伟大的物理学家，但是他不懂几何，他找同学格罗斯曼帮忙，才知道黎曼的重要工作，否则广义相对论发展不出来。

基本功要从中学开始

训练基本功要在中学生、大学生或研究生的时候。怎样学好基本功呢？有时看完一本书后，就将书放在一边，看了两三本书后就以为懂了。其实单看书是不够的，重要的是做习题，因为只有在做习题的时候，你才能知道什么命题你不懂，也理解到前人遇到的困难在哪里。习题不单在课本里找，在上课和听讲座时也可以找得到。

很多学生上课的时候不愿意做笔记，30年前不做笔记的话根本不可能读任何学科。尤其是有时候讲者讲的内容根本不在书本里，又或者是还没有发表的。现在有了电脑方便多了，但是笔记还是重要的。通过手写的记忆比看电脑来得扎实。我常觉得很奇怪为什么学生不做笔记？他认为他懂了，其实明明不懂，因为可能连讲课的人都还没搞懂，听讲的人不愿意去做笔记，也不愿去跟讲课的人谈，或去跟其他老师讨论，这是很可惜的事情。

基本功的另一个训练就是要找出自己最不行的地方在哪里。我们在学习“群表示理论”的时候，会遇到一大套抽象的理论。单看抽象的理论是不够的，在应用时往往要知道群表示是怎么分解的，如果不能够将它写下来，漂亮而抽象的理论对你一点好处都没有。

记得我的儿子在中学时学多项式的因式分解，老师教了他一大堆怎么分解整数方程的方法。他学得很好，也学了怎么找根的方法。可是有一次考试时他就是不知道怎么做因式分解。我跟他说：你明明晓得怎么找根，为什么不能够做因式分解？主要是他学的时候没想到找根与因式分解是同一件事情。问题就在于训练基本功的时候，要想清楚数学命题间的关系，以及为什么要解这些命题。

动笔做题很重要

我们去看一些人写的前人的学术历史，会读到很多很漂亮的介绍和批评。可是如果你自己没有经历过这一条路的话，事实上很难了解困难在什么地方，及为什么人家会这样想。要得到这个经验，不单要做习题，还要做比较难的习题。做难题有什么好处呢？难题往往是几个比较基本的问题的组合。

我看书的时候，常常很快就看完了，觉得很高兴，因为看完了。可是重新再看，还是觉得什么都不懂。我想大家都有这个经验。主要的原因是什么呢？我们没有学好这个学科，做比较难的题目时，就会束手无策。

我们做一些题目的时候，往往觉得似是而非。在脑子里面想，以为已经懂了，可以解决了，就一厢情愿地想这个问题已经解决了，于是很快地看完那一本书。事实上这是欺骗自己，这不是训练基本功的方法。

一个好的题目，你应当坐下来，用笔写下来，一步一步地想，结果会发现很多基本的步骤你根本没有弄清楚。当弄清楚的时候，去看你以前需要的定理在哪里、怎么证明的，我想你就会慢慢了解整个学问的精义在哪里。

所以说，动笔去做题目是很重要的。我们做大学生时还愿意做题，往往做研究生时，就不会动手去做了，毕业以后更不用讲。一个题目在书本里，我们以为自己懂了，有些是很明显的，但有些是似是而非的，好像差不多了，事实上不是，里面蕴含很多巧妙的东西。我们一定要动手去做，才知道这些巧妙的内容在什么地方。我们的基本功扎实了以后，就会发现书里面很多是错的。当能够发现书本里的错误时，你的基本功就不错了。现在的一些学生不看课外书，连本学科的教科书也不看，很令人失望。

做研究时，自己要去找思路。单单上课听听，听完以后不看书，做几个习题就算了，怎么做都做不好，因为你没有整理好自己的思路。

我大一念到一半时，刚开始了解到数学严格化的过程，觉得很兴奋。从逻辑去看，所有数学命题都可以一点一点地推导，从前有些几何或分析上的问题，我发觉都可以将它们用逻辑的方法连接起来，所以很高兴。

我讲这段经历是什么原因呢？我觉得现在很多大学生或研究生对于宏观的数学并不热情，只是看到课本上有些题，能够做完它就觉得很满足，而没有去想整体数学、整体几何，或者整体代数的内容。我们需要研究的是什么事情、追求的是什么对象？考虑这些其实并不会花太多时间，可是你要有一个整体性的想法。整体性的想法是非要有基本功不可的，就算很琐碎的知识，你也要知道，以后才能对整个学科有一个基本的、宏观的看法。