在数学与生物学之间

专门研究蚂蚁的进化生物学家、有争议的公共知识分子威尔逊（E. O. Wilson，1929-2021）在2013年清明节那天的《华尔街日报》上发了篇专栏文章，题目是“伟大科学家≠数学好”，大意是许多成功的科学家数学都不咋样，很多甚至是数学半文盲，比如他自己，所以那些期望成为科学家的年轻人，没必要把高等数学太当回事。这引起了年轻气盛的伯克利数学家弗兰克尔（Edward Frenkel，1968-）的不满，他几天后（4月9号）给在线杂志《石板书》（Slate）写了篇文章《别听威尔逊胡扯》（Don't Listen to E. O. Wilson），文中引用生物学家道金斯对威尔逊的批评，并且指出威尔逊在《自然》（Nature）杂志上发过的一篇文章的错误根源恰是威尔逊弄错了数学。弗兰克尔进一步指出，威尔逊从他自己过时的职业生涯中获得的经验并不适用于现代生物学，他不应该误导青年人。弗兰克尔也是文理兼通之才，著有科普型回忆录《爱与数学》（Love and Math）讲述了他艰辛的学习过程，以及1990年代移民美国之后的数学成就和艺术爱好。

《爱与数学》英文版书影

这场小论战引起了科学共同体的关注，尤其在数学家和生物学家圈子。这也可以看作是斯诺（C. P. Snow）1950年代提出的“两种文化”（理科文化和文科文化）之争的更细颗粒度的版本。在线报纸《赫芬顿邮报》（The Huffington Post）也收到科学家的来信，其中生物学家中鲜有支持威尔逊的，倒是有几位数学家同情威尔逊，指出也许弗兰克尔误读了威尔逊。同年8月的《美国数学会动态》（Notices of AMS）转载了威尔逊和弗兰克尔的两篇论战文章，并刊登了几封不同观点的数学家来信。这有点像学科歧视，也有点像种族歧视，对被歧视的群体的同情必须来自于歧视群体。

王浩在论及不同学科的形式化vs直觉（《王浩︱生物学的形式与直觉》，《澎湃新闻·上海书评》2023年12月5日）时，把学科按照形式化程度依次排列为心理学、生物学、化学、物理学、数学和计算。越往后，形式化程度越高，这里计算包含了逻辑。这种分法也不算独特，纸质《大英百科全书》第十五版的目录卷Propedia就把学科按照如此分类，在心理学类还有社会科学等等。这种层层依靠的分类方法在西方的话语中一直就有，知识越发达，分类就越细。物理学家霍金在《时间简史》中说，罗素曾经在一次天文学的科普讲座上被一位老太太教训：“世界哪儿有那么复杂，就是一个放在乌龟背上的平板。”罗素反问：“那乌龟站在什么上面呢？”老太太答：“小伙子，你挺聪明，乌龟下面是更大的乌龟，一路乌龟啊（turtles all the way down）！”我们可以借用这个说法，最底层的乌龟就是逻辑，逻辑上面是数学，数学上面是物理，物理上面是化学，化学上面是生物，生物上面是心理，如此类推。这种说法其实就是粗颗粒度的还原论。下面为上面设置了边界并且提供工具，上面为下面提供需求。有些新学科可能脚踩几条船，例如计算机科学，可能其中软件会更踏实地踩在数学上，而硬件踩在物理上，计算理论则可能来源于逻辑。由罗素传开的“层层王八”的说法就是把学科和数学以及数理逻辑的远近程度排了个序，离数学和逻辑近的，形式化程度就高。

希腊对数学素有尊重。柏拉图学院门口就有块牌子：“不懂几何的别进来。”（Let no one ignorant of geometry enter.）按照这个标准，当代的哲学系都该关门。欧陆最后的严肃哲学家康德也有类似表述：“一个自然学科的科学成分取决于能用到多少数学。”（A doctrine of nature will contain only as much proper science as there is mathematics capable of application there.）康德之后，为人类贡献知识的群体就用“科学”而不再是“哲学”来冠名自己的领域。哲学这个品牌逐渐被廉价转让给了劣质散文作家群体，就像中国的各种打着意大利品牌的家具店其实和意大利一点关系都没有。康德再多活二十年，估计都不好意思再谈哲学了。现代逻辑源于弗里格和罗素，也恰因为罗素，哲学系一度有幸成了逻辑学家的家园，这在某种意义上挽救了哲学的颓势，为哲学多续了几十年的寿命——罗素当时也有可能把逻辑安放在数学系。但现在几乎所有好的逻辑学家都去了数学系和计算机系，哲学系再度变得空洞化，寄生群体都是对智力无所要求且语文不及格的人，靠着希腊先贤为“哲学”留下的荣光混日子。

物理学家费曼干脆把人分成两类，一类是懂了足够多的数学从而能够理解自然，还有一类则不是（people had or not had the experience of understanding mathematics well enough to appreciate nature once）。化学在康德的时代还是炼金术（alchemy也是阿拉伯的舶来的半成品），炼金术是纯经验的，没用到数学不算科学。也许我们可以把牛顿痴迷于炼金术理解为这是他企图使之科学化的努力。康德之后差不多一百年，苏格兰多才多艺的科学家达西·汤普森（D'Arcy Thompson）认为化学已经可以算科学了，但生物学尚在成为科学的过程中，他的时代还没有DNA。他写了本《生长和形态》（On Growth and Form），力图在生物学中找出点数学的痕迹。数学家们并没把这书当回事，但最近火起来的复杂论学者倒是把这个当宝藏。自称为复杂性科学家（complexity scientist）的应用数学家阿比斯曼（Samuel Arbesman）在《太过复杂》（Overcomplicated）一书中对比了物理学和生物学方法论的异同，说生物学思维和物理学思维不一样，企图用复杂性科学来为生物学和经济学找到数学基础。大部分生物学家朦胧地认为自己是一元论者，但是如果把话说白了——生物是机器，他们又有些犹豫。

这种排序并非科学独有。马勒《第三交响曲》的乐章排列依次为：鲜花告诉我，动物告诉我，人告诉我，天使告诉我，爱告诉我——这么由唯物到唯心地逐步递增。当然，每个人都有夸大自己学科重要性的倾向，费曼在《物理学讲义》里思考了物理学和化学、生物学、天文学、地质学乃至心理学的关系。费曼在讨论心理学时讲到了计算机与神经系统的关系，考虑到费曼和同校的米德（Carver Mead）关系紧密，这不奇怪。在他去世前，还讲过计算机设计和理论的课程呢。但心理学大概是费曼可以游走到的最远的学科了。在费曼等一众理论物理学家眼里，社会科学根本不算科学，连伪科学都不算，更别提他们对哲学的鄙视了。

现代科学家更加强调数学在科学中的作用。数学物理学家尤金·维格纳1960年在《纯粹与应用数学通讯》上发表过一篇很有名的文章，题目叫《数学在自然科学中不可思议的作用》（Unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences），但他对数学和生物学的关系似乎有些困惑。计算机科学家海明（Hamming）受维格纳启发也写了篇类似的文章，题目干脆就叫“Unreasonable effectiveness of mathematics”，1980年发表在《美国数学会月刊》上，把“不可思议的作用”更进一步拓宽到计算机科学和工程。后来，“不可思议的作用”成为一系列文章的惯用题目。

“复杂系统”研究，可能是因为一些在物理系不太被待见的人企图找个大雨伞避雨而已。很多毒舌的理论物理学家嘲讽同系的复杂性科学家们，说他们把没有形成坚实理论的东西都称为复杂性科学。但也许时代在变，2021年的诺贝尔物理奖给了意大利物理学家乔治·帕利西（Giorgio Parisi）等三位，因为他们在复杂系统的贡献，让复杂性科学家们欢呼。威尔逊数学不好，自然不会把还原论进行到底。但他有些说法还挺有意思，例如：“还原论加上复杂性成就科学，而复杂性没有还原论则成就艺术。”（The love of complexity with reductionism makes science. The love of complexity without reductionism makes art.）还原论的好处是经济，而坏处是对智力要求较高。计算模拟（simulation）的好处是在不知道解析解的情况下也可以构建复杂的模型，既不是从最抽象的数学入手，也不是从最朴素的观察入手，而是从中间下手。

数学和物理学的关系也不单纯是数学是物理学的基础那么简单，否则形而上学（metaphysics）就应该是数学了。数学家也常从物理学中得到灵感。数学家马克·李维（Mark Levi）在有趣的科普著作《数学机械师》（Mathematical Mechanic）中就举出很多可以用物理学解决的数学问题。物理学家中也有不太注重从现成数学中寻找依据的，费曼就是一个，当他碰到数学问题时，总是自己去发明，实在证不出来就猜。杨振宁并不太认可费曼的这种态度，他更欣赏戴森（Freeman Dyson）。费曼的猜测就是戴森证明的，可惜戴森没得诺奖。费曼在课堂上讲过一个玩笑：一个物理学家请教一个数学家一个三维空间的问题，而数学家总是讲n维空间，物理学家说我只关心三维空间。但过了一段时间，物理学家又来了，说能不能再给我说说四维空间，数学家答：设n=4。化学抽象了生物学中的共性，物理学抽象了化学中的共性，数学又抽象了物理学中的共性。解决一个数学问题可以解决一类物理学问题，而解决这个数学问题的难度有时甚至低于解决这类物理学问题中的任何单独一个。牛顿为物理找到了数学的精确性，但化学和生物学在牛顿的年代尚缺踏实的基础。随着计算生物学等交叉学科的兴起，生物学最近几年变得越来越硬。近来又有所谓AI for Sciences，谷歌的蛋白质折叠工具AlphaFold被生物学家誉为“最重要的科技进展”。

由此说数学是所有学问的基础倒也不差。从罗素开始的逻辑学家们也自信逻辑可以为数学提供坚实的基础。但王浩晚年在几处都曾表达过他的困惑：数学在物理学中，物理学在化学中都起到非凡的作用，为什么数学家却不买逻辑学的账。比起物理学家对数学家的尊重，逻辑学家似乎并没有得到数学家足够的重视。其实，理论计算机科学在很多学校里是挂在数学系的，例如麻省理工，他们在数学系的地位和逻辑学家类似。逻辑学家没有得到数学家更多尊重的一个隐性原因可能和美国1960年代推行的“新数学”教育运动相关。因为苏联成功发射首颗人造卫星Sputinik-I（史普尼克一号）导致美国反思自己的教育体系。当时的共识是苏联的数学和工程教育要优于美国，大量的工程师学到更多的数学而且是更严谨的数学。于是美国开始在中学教育中提倡“新数学”，内容加入了集合论、布尔代数和抽象代数。作为折中，一部分几何内容被删掉。这个运动受到家长和一些数学教育家的反对，最终失败。其中最知名的反对者是写过《古今数学思想》的纽约大学数学家克莱因（Morris Kline），他1973年出书《为什么强尼不会加法：新数学的失败》（Why Johnny Can't Add: The Failure of the New Math），试图分析新数学失败的原因。他认为数学的学习过程是渐进的，而对“新数学”有深刻影响的布尔巴基学派，对中学数学教育的要求过度抽象。陈省身差不多是布尔巴基的同龄人，同该学派中多位人物是朋友和合作者，与灵魂人物韦依（Andre Weil）更是关系密切，但他并不赞同他们对平面几何斩尽杀绝的做法，尤其是丢东聂（Jean Dieudonne）提出的“打倒欧几里得”的口号。小平邦彦当时在普林斯顿高等研究院，他作为旁观者观察到，“新数学”运动失败后，中学数学教育基本回归传统，但是删掉的或者缩编的平面几何却没有得到恢复。在这个意义上，逻辑是个失败者：直接插入逻辑内容的正面进攻失败，而作为逻辑训练最直观的几何教育又退出。难怪数学家不待见逻辑学家。

“新数学”改革的失败给人留下印象：通识教育的核心不易动。计算机科学家周以真（Jeannette Wing）2006年首先提出“计算思维”，核心思想是“计算”有点像数学，已经变成各个学科的工具。计算思维对未来的影响不只是它的应用价值，也被数学共同体所认识。陶哲轩在被问及克雷数学研究所七大问题中黎曼猜想何时能被解决时，他估计黎曼猜想大概是倒数第二被解决的，而理论计算机科学中的P vs NP问题是最后一个。以图灵和他导师丘奇（Church）命名的丘奇-图灵论题（Church-Turing Thesis）具有深刻的哲学含义，它为数学和物理学划定了边界，这个边界可以推广到“心身问题”（mind vs body），还可以被认为是乔姆斯基语言学的逻辑基础。从事量子计算机实验的实验物理学家不懂理论计算机科学，常说外行话。“计算”作为通识教育的一部分似乎正在逐渐获得认同，这肯定值得另一篇文章来辩护。

关于数学是发现还是发明，一直有争论。柏拉图主义的数学是实在论的，太阳底下无新事，因而数学是发现。两派之争的核心是数学中是否存在着物理中不存在的东西。如果按照西方传统的理性主义和经验主义的二分法，数学肯定更偏理性，而物理科学更偏经验。理性中多发明，经验中多发现。在这个意义下，数学也可被看成是最低成本的发明。杨振宁接受数学家季理真的采访记录被编成《百年科学往事：杨振宁访谈录》，其中提到杨先生说如果给他机会重新选择，他会学数学而不是物理。其实数学和物理真不好分家，尤其是理论物理。数学和理论计算机科学也是难舍难分，数学家彭罗斯（Roger Penrose）得过诺贝尔物理奖，物理学家威腾（Edward Witten）得过数学菲尔茨奖，理论计算机科学家维格森（Wigderson）也得过数学的阿贝尔奖，丘成桐得过物理学的格罗斯曼奖并与物理学家合作紧密。

麻省理工的物理学家兼科普作家泰格马克（Max Tegmark）认为数学的内涵和物理的内涵是相等的，数学中有的，物理中都有。他在《我们的数学宇宙》（Our Mathematical Universe）中说：是数学公式创造了实在（mathematical formulas create reality），他这话有些偏颇，因为有些问题不存在解析解，但却有近似的数值解。我们姑且把他的“数学公式”理解为某种数学或计算的方案。他还说：存在的只有数学（there is only mathematics; that is all that exists）。不知道赞同这个说法的，是数学家多还是物理科学家多。有一则故事说威尔逊山天文台要建一架天文望远镜，爱因斯坦曾经的太太艾尔莎听说后说：“我丈夫在旧信封的背面就可以完成这项工作。”爱因斯坦的晚辈好友、逻辑学家哥德尔，作为一个实在论者，可能也不会像泰格马克走得那么远。这不止在数学和物理，在关于语言和思维的关系上，乔姆斯基就称语言即思维，达尔文有类似的倾向，但从没有表达过鲜明的立场。

《我们的数学宇宙》英文版书影

凯瑟琳大帝在世时搞改革开放，从法国和德国引进高端人才。狄德罗在被凯瑟琳召见时表达了对数学的仇视，认为数学没用。狄德罗被同时在圣彼得堡伺候凯瑟琳的欧拉奚落。数学家大概是最早对变质的哲学家鄙视的人群。如果以学科和数学的距离来衡量学科的软硬程度，离数学越远的越软，离数学越近的越硬，那么化学和生物确实离数学较远。

微软的学术服务（MAS）搜集了超过两亿多篇学术出版物，其中主要是学术论文、书和专利，并将之按照学科分类，例如数学、物理、工程、政治学等。每个学科又包含若干之学科，例如在数学下面有代数，而代数下面有抽象代数等。我们可以把语义距离推广到学科的分类，来定义“知识距离”，用以测量不同学科和数学的关系，看看谁硬谁软。

各学科与数学的逐年距离

我们可以看出，物理学和计算机科学一直都是数学的近邻，其他学科都是与数学越来越远。有点让人吃惊的是，生物学比政治学和哲学都软。因为MAS把语言学和大部分逻辑都放到哲学下面，这维持着哲学在MAS中的体面。好在2000年后，生物学变得越来越硬，有证据表明这是生物学的子学科——例如计算生物学——在起作用。事实上，学科之间的距离随着时间是越来越远的，即使在理工科内部，学科之间的距离也是逐年递增。只有邻近的学科，例如数学与物理，化学和生物学，基本维持恒定的距离。也许费曼、杨振宁们是对的：物理学真是试金石，以生物学为界，比生物学远的学科都是文科，比生物学近的都是理工科。值得指出的是，神经网络作为深度学习的前戏在1980年代中期曾经有过一段小高潮，领头者就是生物物理学家。

各学科与物理学的逐年距离

数学不仅有“不可思议的用处”，还可以治疗浮躁，因为数学需要天赋的智力并且后天花费力气才能学得会，这就是阿基米德所谓“没有通向数学的皇家捷径”。

来自：澎湃新闻