如何绕过受力分析解力学问题？《张朝阳的物理课》讲解拉格朗日力学

牛顿力学在17世纪就已经发展得相当成熟了，但为什么在18世纪，科学家们又建立起了另一套拉格朗日力学？ 9月29日12时，《张朝阳的物理课》第一百七十七期开播，搜狐创始人、董事局主席兼首席执行官、物理学博士张朝阳坐镇搜狐视频直播间，从光学的费马原理类比出发，说明自然界存在对某个作用量取变分极值的偏好，接着构建起拉格朗日力学体系，并举例说明拉格朗日力学的简便之处。

从费马原理重新审视牛顿运动方程

在正式介绍拉格朗日力学前，张朝阳先带大家回顾了牛顿力学是如何处理问题的。在牛顿力学中，需要先对物体做受力分析，这些力的合力会反映到物体的加速度上，加速度a是速度v的变化率，速度v是位置矢量x的变化率。举一个简单的例子，重物在重力作用下自由落体。

（重物自由落体）

为简单起见，只考虑竖直方向的坐标，取竖直向下为正方向建立x轴，这样就可以把物体在t时刻的位置记为一个坐标x(t)，在上面加一点表示坐标对时间求一阶导，得到速度v，再加一个点是求二阶导，得到加速度a

用牛顿第二定律可以列出

很容易解出自由落体的运动方程为

以上是由牛顿定理解出来的运动方程，它是x关于t的二次函数，画在x-t图中是一条抛物线。

（运动路线多种选择）

但不妨再大胆地想想，假设现在不知道运动方程是怎么样的，或者说，假设在另一个星球上满足另一条物理规律，那么它的路线很可能不再是t的平方，而是t的一次方或者三次方。从起点①到终点②，有很多种可能的路线（图中红线），它与黑线差△x(t)。由于路线不再由牛顿定律确定，运动方程只能写成关于t的未知的函数

在这样的情况下，有没有可能找到另外一个条件，从这个新的出发点出发，能重新推导出牛顿定律呢？

回顾先前电动力学课上讲过的“分层理念”。可以把电磁学量分成三层，第一层是电势和磁矢势，第二层是电磁场，可以由第一层求时空偏导得到，第三层是电磁场的散度和旋度，与电荷和电流直接相关。麦克斯韦方程组可以用第二层和第三层的量来描述，也可以把第二层的量换成第一层来得到更紧凑的形式。类似地，力学中应该也可以找到x和v背后更底层的量，把牛顿定律写成另一种形式。在这种思想的启发下，假设有一个标量函数F，它与x和v有关

这个函数对时间的积分会出来一个数

这样写相当于输入一个路线函数x(t)，它会通过被积函数F输出一个数S，这是从函数x(t)到数S的映射，称为泛函。

之所以想到构造这样一个泛函，是因为在17世纪，光学领域已经提出了光的费马原理。费马告诉大家，设定光出发的起点和抵达的终点，两点之间有很多可能的路径可以相连，那么光所走的真实路径一定是用时最短的那条，或者说，用时一定取在一个极值。用这个原理可以把光在均匀介质中沿直线传播、光的反射和折射规律都涵盖进去。

光所走的用时是对路径求积分得出的一个泛函。路径是一个函数，对它输入自变量坐标它会输出因变量坐标，是数到数的映射。而用时是一个泛函，对它输入一个路径函数它会输出一个时间，是函数到数的映射。

如果把每一条可能的路径看做函数空间中的一个点，泛函就是输入一个函数空间中的点并输出一个数。光所走的真实路径位于泛函取极值的地方，它的一阶变分为0，意思是说，把给泛函的输入，从代表光所走的真实路径的点稍作偏移，也即把路径稍微移动一小段，泛函所输出的数值将几乎不变。这和函数取极值时一阶导为0是一样的，这样的点称为驻点（stationary point），光所走的实际路径也称为stationary path。

类比光的费马原理，有没有可能在力学中也构造一个标量函数F，使得物体在按真实运动方程运动时，输出的数S也取为极值呢？

从变分取极值推导运动方程，并用函数空间理解驻点

有了想法，就可以开始数学推导了。对路线x(t)做变分，变为x(t)+△x(t)后，F会相应地变为F+△F，S也会变为S+△S。这里只关注变化量，写出S的一阶变分为

虽然路线x(t)和速度v(t)作为时间的函数是有关联的，但F作为x和v的二元函数，对它们的依赖关系是独立的。所以在考察F的变分时，应该先假设摁住速度v不动，考虑△x的贡献，再摁住x不动，考虑△v的贡献

在第二项对速度的变分中，可以把变分和对时间求导的顺序做一个交换

代回对F的变分式，并将第二项凑成全微分的形式

交换第二项和第三项的位置，把和△x线性相关的项放在一起，再代回对S的变分式

上式写成了两项，第二项是一个全微分，很容易积出结果。因为在对路线x的变分中已经固定了起点和终点，

所以对第二项积分后得到的变化量是0。另一方面，这里要寻找的F的函数形式是使得S在实际运动方程上取极值，或者说，它的一阶变分取0，是一个在输入函数x的函数空间中的驻点，这要求无论△x如何选择，第一项的结果也依然是0。所以方括号中的被积函数必须取为0，

（张朝阳推导变分取极值的条件）

至此，张朝阳从数学上推出了一个泛函S取极值时，它的被积函数F应该与路线x和速度v具有何种关系。虽然x和v作为t的函数是相互依赖的，但F对x和v的函数关系是独立的，在考虑F如何构造时，可以用正交的x轴和v轴代表所有可能路线的函数空间。

每个路线通过被积函数F对应一个泛函S，它能画成函数空间中的一个曲面。但这个面是冗余的，在这个面上，只有v是x对时间求一阶导的点才对应有意义的路线。在这些有意义的函数点所连成的线上做一阶变分，变分为0的驻点对应的路线函数就应该是物体的真实路线，这些点就好像“山谷”、“山脊”或者“鞍点”，而“山坡”所对应的点就不是物体的真实路线。

（用函数空间中的曲面理解变分驻点。这里x轴和v轴虽然垂直，但对于有意义的路线而言它们并不是独立的）

有读者会注意到目前只要求了一阶变分为0，它对应的是取极值的驻点，但并不能判断它是极小、极大还是一个鞍点，为什么会叫它“最小作用量原理”呢？这其实是一个习惯的叫法，更严格的叫法应该是平稳作用量原理（principle of stationary action）。在大部分情况下，构造出来的F在实际运动路线下确实取的是泛函极小值，它的二阶变分大于0，是一个位于山谷的凹点。

构造拉格朗日量和作用量，建立拉格朗日力学

那么被积函数F在什么样的函数形式下，求出来的驻点对应的路线正好是牛顿第二定律呢？在不考虑非保守力（比如摩擦力或洛伦兹力）的情况下，拉格朗日给出的结果是，被积函数F等于动能T减去势能V，这称为拉格朗日量

拉格朗日量对时间的积分S也被正式命名为作用量。刚刚得到的关于变分取极值的方程也正式变成了欧拉-拉格朗日方程

上面的拉格朗日量是动能和势能的函数，确实很像电动力学中第一层的电势和磁矢势。张朝阳再次以自由落体举例。在这里，重物的动能为

重力势能为

所以拉格朗日量为

代入欧拉-拉格朗日方程

得到的运动方程正好和牛顿的运动定律一致

再来考虑另一个例子。有一物体套在滑杆上，它在重力的作用下往下滑。杆子的形状并不规则，在笛卡尔坐标系中需要两个直角坐标来表述。但是因为物体被约束在了杆子上，它只有1个自由度，所以可以只用一个坐标来描述它的运动。

（在物体沿杆下滑问题中，只有一个运动自由度）

设物体的初始位置为坐标原点，取沿杆走过的长度l(t)作为描述物体运动的坐标，每一个l对应一个高度h(l)，它的拉格朗日量是

代入欧拉-拉格朗日方程

得到

这也和牛顿定律是一致的。因为在滑杆上，倾斜角的正弦值sinθ就是高度关于沿杆长度的变化率dh/dl，而通过力的矢量分解，重力沿杆方向的分量正是重力乘以倾斜角的正弦值，所以上式其实是物体在物体沿杆方向上牛顿第二定律。而在垂直于杆的方向上，物体的重力分量和杆的支持力相互抵消，物体被牢牢地约束住了，没有运动自由度。

在欧拉-拉格朗日方程中，通过对拉格朗日量做微分，可以得到牛顿力学里的加速度和力。反过来，也可以对牛顿运动方程做积分，来看看它能否回到拉格朗日力学的动能和势能。令上式两边对运动路线求积分，左边得到

第二个等号中把积分变量替换成了dt，第三个等号又替换成了dv，积出来的正是动能。对右边积分得到

它正是重力势能的减少量。把两边放在一起看，不难发现它就是机械能守恒

（张朝阳推导机械能守恒）

通过这个不规则形状的杆的例子，可以发现拉格朗日力学天然地把运动约束考虑进了坐标里，它不一定是笛卡尔的直角坐标，也不一定是极坐标或者球坐标，只要能找到合适的广义坐标，就能有效地用运动约束减少微分方程的数量。一个自由度可以用一个广义坐标和广义速度来描述，如果有n个运动自由度，拉格朗日量就是关于n个广义坐标和n个广义速度的标量函数

它关于这n组广义坐标和速度，有n个欧拉-拉格朗日方程

另一方面，相比于牛顿力学，拉格朗日力学只用考虑拉格朗日量一个标量，而不涉及对力的矢量分析。虽然牛顿力学更形象直观，但在某些受力情况复杂的体系中，拉格朗日力学能更方便地得出物体运动所满足的微分方程。后来的量子力学和量子场论也借鉴了其中的很多概念。

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