质元的动能与势能同步变化

今天讲一个短平快的问题。

很多人对机械波的能量感到困惑，为什么处于平衡位置的媒质的质元的弹性势能反而是最大的？为什么质元的动能与势能同步变化？

当然，你可能会根据一些特例来帮助理解这些问题。例如，抖动一根水平绳产生横波时，你注意到那些位于平衡的位置，因为两边受到的拉力指向相反方向，所以形变是最厉害的；而处在最高或最低点的那些位置，两边受到的力指向同一方向，虽然具有最大的加速度，但本身的形变却为零。所以势能最大的位置应该在平衡位置。

如果用力抖动一根软弹簧形成横波，那么会看到平衡位置处，弹簧形变最明显，而最低和最高点几乎还是原样，如下图所示。

至于动能，你也容易想到一个屡试不爽的规律：平衡位置的加速度为零，速度必然最大，所以动能就是最大。

如此一来，动能和势能同步达到最大，当然也会同步达到最小，所以它们同步变化的规律就坐实了。

但若要较真，机械波的能量的规律到底该怎么得到呢？那你还得用一点数学。下面较详细的给出一个推理分析的过程。

考虑一根长为 的弹簧被拉伸了 ，它的弹性势能是多少？

学过高中物理的你，当然知道是下面这样的

其中 为倔强系数。如果弹簧的材料和粗细确定，更长的弹簧，倔强系数更小，这个应该很好理解，弹簧越长，拉起来当然就没那么费力了。 按此规律，可将倔强系数写成 其中 是一个常数，取决于弹簧的粗细和材料性质。

那么上面的势能可以写成 这里故意拼凑了一个新变量—— ，即相对伸长量。由于 是常量，所以，对某个弹簧（材料、粗细和原长确定），其储存的势能由它的相对伸长量决定。

如果弹簧是被压缩的，只不过 ，能量表达式也是一样的。

总之，弹簧的相对形变量 决定它的势能！

那么，对一段长为 的媒质，它所储存的势能也是类似的：取决于它的相对形变量。

你可能认为，这段媒质的中心的偏移量会产生势能，这其实是一种错觉。媒质中各点的绝对偏移量并不一定会形成弹性势能！

想象你手里拿着的一把尺子，假设它现在整体移动一段距离，很显然，整个尺子的重力势能的确变了，但始终没有形变，所以也没有弹性势能！但显然，尺子上各点不是发生了偏移吗？！

所以，从根本上说，只有当内部各点的位移不同，导致各点之间发生相对位移，也就是物质产生了形变时，才会形成弹性势能。

很显然，机械波的媒质就是最好的代表的呀！

对机械波来说，波函数的变量 是描述媒质中点的偏移量的。它是位置 和时间 的函数，换句话说，同时刻不同点的偏移量不一致呀！所以自然会导致各点之间发生相对位移，也就是波的媒质发生形变，这就能导致弹性势能啦！

那么，媒质中的势能随位置变化的规律是怎样的呢？

考虑某个确定的时刻 ，波表现为一条曲线——波形曲线。

它描绘媒质中各点偏移量 随坐标 的变化情况，用函数表示为

当位置 产生 的增量时，偏移量 也产生一个增量 。

现在分析媒质中一段原长为 的质元。

形变前，它的两端坐标分别是 和 。

形变后，两端点的纵向偏移量分别是 和 。左端坐标变为 + ，而右端坐标变为 + + + 。

因此，形变后的媒质的长度是 + ，绝对伸长量为 ，故相对原长 的相对形变——相对伸长量为

按照前面讲的相对伸长量决定势能的规律，这段原长为 的质元现储存的势能为

如果将右侧的 移到左边相除，则得到的是该段介质内的平均势能密度 ，故 仿照平均速度到瞬时速度的过渡方式——将时间 得到任意时刻的速度，现在考虑无限小的一段介质，上式中的 ，无穷小量变成微分量，用 代替 ，则得介质中任意点的势能密度为

看到了吧！两个微分相除导致微商，这样就得到导数了。

实际上，考虑任意时刻的情形， 是 和 的函数 ，故应用偏导符号 代替 重写为 这下好了！谁的导数？偏移量 对质元坐标 的偏导数，也就是质元的偏移量对坐标的变化率！这不就是波形曲线上某一点切线的斜率吗？

所以，媒质中质元的势能取决于波形曲线上的切线的斜率，斜率绝对值越大，势能越大，绝对值越小，势能就越小。

很显然，波形曲线上，平衡位置处的斜率绝对值最大啊！所以这个位置的势能最大！什么地方斜率为零？当然就是波峰和波谷处，所以这些位置的势能为零！

实际上，根据正弦和余弦之间互为导数的关系，更一般的规律可从上图看出。

上面的推导是按照纵波来进行的，如果是横波，物质会发生横向形变，计算稍微复杂一点，但最终的规律是一致的。

下面再进一步来看机械波能量的表达式。

首先是势能部分。

由上面的分析可知，要得到势能的确切的表达式，就要确定式中的 的值，它反映这段媒质的倔强系数除了长度之外的其它影响。那么，这些所谓“其它影响”有哪些呢？

材料的弹性？对！确切的叫弹性模量。还有呢？这段媒质的粗细？肯定越粗越难对付吧？没错！

弹性模量这个东西，是针对固体来说的，对液体来说，也有相应的那个量。总之，就是物体本身的弹性性质。

假设弹性模量用 表示，媒质的粗细，也就是它的底面积用 表示，则得 据此，上面的势能 可表示为 这其中， 正好就是媒质的体积 ；而一般来说，弹性模量 与波速 的关系为 其中 是密度，根据 ，上面的势能可写成 如果考察一个段媒质的微元，则上式为 将波函数 对 的偏导代入，即得势能的表达式为 再看动能部分。

这段介质 在振动，所以具有动能。动能很简单，直接按动能的表达式，即

其中 是媒质的振动速度——注意，媒质并没有随着波运动！所以这里的 不是波速，而是媒质偏移的速度——振动速度，按照速度的定义就是 得到动能为

这才发现，质元的动能和势能随位置和时间的变化规律竟然完全一样，用更物理的语言说，它俩是同幅同相变化的，对确定点，二者的值每时刻都完全一致！

机械波的能量是动能与势能之和，那么自然的，质元 的机械能为 即 可化为 这下彻底看清楚了，能量与坐标和时间相关的部分 具有简谐波的标准形式。因此，机械波的能量本身也形成一个简谐波，它的频率是波的频率的两倍。对简谐波来说，能量的传播速度就是波本身的速度，即相速度 。

既然简谐波的能量随时间周期变化，说明简谐波的媒质的质元的能量并不守恒，这一点与简谐振动不同。很多人觉得这一点违反直觉。他们认为：简谐波的媒质的质元不都在做简谐振动吗？既然如此，质元的能量应该是守恒的呀！？

问题的症结在于，简谐波的质元并不是做简谐振动，因为相邻的质元之间有力的作用，所以质元做的是受迫振动而非简谐振动。

当波前刚抵达某个质元时，它还处于平衡位置，此时质元的能量是最大的。在一个波峰或波谷抵达某质元的过程中，它的能量沿波的传播方向流出——因为它需要策动它的邻居跟着一起动起来；当波峰或波谷到达质元后，它又重新开始吸收来自波源方向传入的能量，再次回到平衡位置。如此反复，能量沿着波线方向不断向前传播。