圆周率计算的进阶之路

本文转自：解放军报

圆周率计算的进阶之路

■王 梅 李 芮

每年3月14日，对大多数人来说只是普通的一天，但在数学界，这一天却是数学家和数学爱好者们共同的节日——“国际圆周率日”，同时也是“国际数学日”。

圆周率是我们经常会用到的一个数学常数，进行和圆形、球体相关的计算，都绕不开圆周率。比如，天体物理学家就会在计算中借助圆周率来确定星球的轨道。对圆周率的探索似乎是没有穷尽的，从几千年前开始一直到今天，数学家们依然在孜孜不倦地探索着圆周率的奥秘。

人们对圆周率的认识起源于对圆形的探究。圆形是最重要的几何概念之一，它的形状简单而优美，人们在很早前就发现了这样一个事实：对于所有的圆形来说，不论其大小如何，周长与直径的比值总是相同的。如果让一位数学家来描述这个现象的话，那就是设C表示圆形的周长，D表示其直径，对于所有的圆形，比值C/D是一个常数。由于古希腊人对圆周率有突出贡献，所以数学界选择希腊字母表中第十六个字母π来表示这个常数，这也是圆周率名称的由来。

得到圆周率的精确数值并非易事，人们苦苦探寻，以期将圆周率表示到小数点后尽可能多的位数。历史上最早对圆周率的估算是古埃及的莱因德纸草书，据里面的记载，他们采用“化圆为方”的方法计算圆形面积，得出的数字大约只比圆周率的真实值大0.6%。这种方法也深受古希腊人的青睐。古希腊人希望仅用一副圆规和一把直尺就将圆形转换成正方形，再计算这个正方形的面积，从而得到圆的面积。然而，他们从未获得成功。直到19世纪，数学家们发现了π的超越性（即π并非整系数多项式方程的根），“化圆为方”才被证明是不可能实现的。

在与希腊相距遥远的古代中国，也有一批杰出的数学家在钻研着圆周率。公元263年，刘徽撰写了《九章算术注》，提出“割圆术”作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础。与阿基米德的思想类似，刘徽的“割圆术”是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，他从圆内接正六边形出发，一直计算到192边形，得出了圆周率精确到小数点后2位的近似值3.14，这已经是现在普遍使用的π的近似值了。刘徽的“割圆术”，体现了古代中国人对极限思想的思考和应用，并直接影响了祖冲之对圆周率的探索。

关于圆周率，祖冲之无疑是一个绕不过的丰碑式人物。他沿用和发展刘徽的思想方法，将圆周率的数值计算到了3.1415926与3.1415927之间。要得到这一结果，需要从正六边形出发一直连续算到正24567边形。祖冲之把圆周率从小数点后2位精确到了7位，这一精确度西方直到16世纪才达到。遗憾的是，记载祖冲之具体计算圆周率过程的数学专著《缀术》已经失传，现在已无从知道他是如何精妙计算圆周率了。

在上千年的时间里，数学家们用正多边形逼近圆形的方法来计算圆周率，一直到17世纪微积分和无穷级数出现，数学家才真正找到π更有效的近似值。后来，人们利用反正切函数的无穷级数展开，到1948年，已经可以将圆周率精确到小数点后808位。

计算器和计算机的发明，让计算圆周率的值变得更为容易。1949年，经过70小时的计算得到了圆周率的第2037位。不久，精度就增加到了10万位，100万位，甚至上亿位。2021年8月，瑞士科学家将圆周率计算到了小数点后62.8万亿位，创下了新的世界纪录。

在计算圆周率的过程中，利用正多边形逼近圆形需要把正多边形的边数无限增加，利用反正切函数的无穷级数也要计算无限多项的和。计算机的发展可以让我们计算出圆周率的更多位数，却不能帮助数学家计算出“无穷”。这样的“无穷”，也正是圆周率的魅力所在。