如何理解时空的转动？《张朝阳的物理课》再访闵可夫斯基时空

如何从几何的角度理解狭义相对论？狭义相对论中的线元为何是不变量？什么是闵可夫斯基时空中的伪转动？这种伪转动又如何与洛伦兹变换相联系？5月11日12时，《张朝阳的物理课》第二百四十六期开播，搜狐创始人、董事局主席兼CEO、物理学博士张朝阳坐镇搜狐视频直播间，首先回顾了牛顿时空中的坐标变换，并从二维欧几里得空间为启发，引出闵可夫斯基时空中的基本不变量——线元。随后，详细讲解了闵氏时空中的伪转动概念，并将其与洛伦兹变换建立联系，从而以几何的方式进一步揭示了狭义相对论中惯性参考系之间的变换结构。

（张朝阳从伪转动推导得到的洛伦兹变换）

时空坐标变换

在牛顿的时空观中，时间与空间是彼此独立的；而在狭义相对论中，时间与空间则纠缠在一起，构成统一的时空整体。为了说明这一“时空混合”的特性，我们需要从坐标变换的角度入手进行分析。设有两个惯性参考系S和S′，分别用于观测同一事件在时空中的坐标。S系的坐标记为(t,x,y,z)，S′系的坐标为(t′,x′,y′,z′)。在不失一般性的前提下，我们可以令两个参考系的y轴与y′轴、z轴与z′轴重合，并假设两者之间存在一个沿x轴方向的相对速度v。在以下讨论中，我们将忽略 y,y′,z,z′坐标，仅关注(t,x)与(t′,x′)两个时空坐标分量。

我们用上述的两个参考系来考察物理量。坐标微元（位移矢量）是一个一阶张量。在参考系S中，它可以表示为：

根据牛顿力学的精神，时间在所有参考系中是绝对的、均匀流淌的，因此S系与S′系之间的时间变换应为：

而由于S′以速度v沿x方向相对于S向前运动，从S′的角度观察，S系中的空间坐标的变化应为：

上述两个公式就是牛顿时空观下的坐标微元变换。

（张朝阳介绍牛顿时空观下的坐标系变换）

坐标转动变换与找寻不变量

在正式讲解狭义相对论之前，我们先回顾光速不变原理。19世纪，麦克斯韦在法拉第等人的实验成果基础上，建立了完整的麦克斯韦方程组。麦克斯韦从这些方程中推导出了电磁波动方程，从而预言光的本质是一种电磁波。通过求解这个波动方程，可以发现光的传播速度是一个由电磁常数唯一决定的常数，并且与光的传播方向、以及观察者是否处于运动状态无关。

这一发现在当时具有深远的意义，直接冲击了牛顿经典力学中的时空观。在牛顿力学的框架下，参考系之间的速度是可以线性叠加的，因此速度没有上限。但麦克斯韦方程却暗示，光速在所有参考系中都是相同的，这显然与“速度可叠加”的经典观念相矛盾。

从逻辑上看，如果时间与空间是彼此独立的、绝对的实体，那么物体就可以被加速至任意高的速度。但实验结果告诉我们：存在一个速度上限——光速。这意味着，传统的时间和空间的分离观念无法再成立；相反，我们必须承认，时间和空间是彼此纠缠、相互依存的。正是在这一物理事实和理论推演的基础上，爱因斯坦于1905年提出了狭义相对论，其中最核心的出发点之一就是：在所有惯性参考系中，光速恒定且为自然界的最大速度。这个假设深刻地指出：在现代物理中，时间与空间不再是孤立存在的，而是融合为统一的整体——四维时空结构。

在这样一个“时空混合”的新世界中，我们自然要提出一个基本问题：如何表述物理规律，使其在不同参考系中依然成立？这便引出了不变量与协变性的概念。我们希望找到一类物理量，即使在坐标变换（例如洛伦兹变换）下，它们的分量形式可能发生变化，但其物理意义保持不变。以位移微元为例，虽然它的时间分量与空间分量在不同惯性系中会变，但其“长度平方”（即线元）保持不变，这正是不变量的体现。而一阶张量、二阶张量等物理量虽然在变换下其分量会发生变化，但它们遵循特定的变换规律，被称为协变的，也是描述相对论物理的基本工具。

为了从时空几何的角度更直观地理解这些张量的协变性，我们先从一个熟悉的二维欧氏空间出发，考察坐标旋转变换下的性质。在一个平面内的旋转变换下，两个坐标系之间的微元变换关系可以写作：

通过下图的分析可以得到

于是，变换可写成矩阵形式：

尽管微元的分量发生了改变，但其长度的平方保持不变：

这说明在二维欧几里得空间中，度规为diag(1, 1)，微元长度平方是一个不变量。更一般地，一个定义在二维欧氏空间中的一阶逆变张量在坐标变换下满足如下变换关系：

其中，旋转变换下的雅可比矩阵为：

（张朝阳推导二维欧氏空间中的转动与不变量）

受二维欧氏空间中“线长不变”思想的启发，我们希望在时空中也找到一个类似的不变量——定义在时空上的“线元长度”，它应当在不同参考系中保持不变，是一个标量。为此，我们设计一个思想实验：如下图所示，在地面参考系S1中，设有一艘飞船，在时间间隔dx_1内沿x轴正方向飞行了距离dx_1，其速度为

与此同时，在飞船自身的参考系S中，它是静止的，自认为是原时参考系。在该系中，飞船沿着y方向发射一束光，经历的时间为dτ。由于光速在所有惯性参考系中恒定（光速不变原理），地面参考系S1中的观测者也会看到光沿斜线传播，应用勾股定理可得：

同理，如果再引入一个向x轴负方向运动的参考系S2，在时间dt_2 内飞行距离dx_2，那么仍有：

我们可以继续假设有一个参考系S3，其相对于飞船的速度为v_3，在时间dt_3内经过距离dx_3，仍会满足：

（张朝阳解释思想实验）

从这些等式中我们看到，如果在飞船的自身参考系中测得的距离cdτ 是固定的，那么对于任何其他参考系，表达式

也必须保持不变。因此，我们得出结论：在任意惯性参考系中，

是一个不变量。在采用几何单位制（即设c=1）后，线元ds可写为

在四维时空中，这对应的度规为：

这里我们恢复成了四维时空。这正是平直闵可夫斯基时空的度规结构，而上式中的ds^2 即为其基本的不变量。总结上述的叙述过程：我们通过思想实验构建了一个在所有惯性参考系中都保持不变的量——线元，它不仅揭示了时空中不可变的结构，还进一步定义了时空的度规。度规一旦确定，整个时空的几何性质便随之明确。这是狭义相对论的几何本质所在，也是理解时空结构的关键一环。

闵氏时空惯性参考系之间的坐标变换——伪转动

我们已经在二维欧几里得空间中研究了真实旋转变换，并由此找到了线元作为不变量的结构。接下来，我们希望从类似的“旋转”角度出发，来研究闵可夫斯基时空中的坐标变换，从而导出洛伦兹变换。然而，闵氏时空与欧氏空间有一个关键区别：在闵氏时空中，线元具有负号，即

这与欧氏空间中正定的度规不同，无法直接套用欧几里得几何中的旋转变换。为了建立类比关系，我们使用一个技巧，对闵氏线元进行欧氏化操作，引入虚数单位 i，使其形式上类似于欧氏空间中的线元：

在这种表示下，我们可以定义新的坐标：

其对应的坐标微分为：

这样，线元长度就可以写作：

考虑坐标微元与线长的关系，如果将 idτ 视为“总长度”，那么可以类似欧氏几何中的处理，设有一个“旋转角” ϕ，则有：

这使得我们可以套用前面在欧氏空间中使用的旋转变换，得到以下形式的坐标微元变换：

也就是

将上述关系再转换回原始的闵可夫斯基坐标 (t, x)，得到

为了使该变换最终表现为实数形式，我们将“旋转角” ϕ作如下代换：

利用双曲函数与三角函数之间的关系：

上式中的变换即可化为

在这里，闵可夫斯基时空中的“旋转角” ϕ 被称为快度（rapidity）。由于变换以双曲函数形式表现出来，这种“旋转”也被称为伪转动，与欧氏空间中的真实旋转相对应。写成矩阵形式为

此时，坐标微元与原时微元的关系变为：

（张朝阳推导伪转动）

洛伦兹变换与伪转动

为了进一步明确快度 ϕ与速度 v之间的关系，我们回到之前提出的思想实验。设飞船的自身参考系为“原时系”，是地面参考系经过一次伪转动得到的结果。在飞船参考系中，它自身静止，因此满足：

将其代入上文中的变换关系式中，得到

从第二式解得：

因此，快度 ϕ与相对速度 v之间的关系为：

为了进一步明确双曲函数与ϕ的关系，我们回顾如下恒等式：

结合 v=tanh ϕ，我们可以得出：

若我们恢复自然单位制中的光速c，即不再令c=1，则定义无量纲速度β=v/c，上述结果可改写为：

将cosh ϕ和sinh ϕ表达式代入之前的伪转动变换矩阵，即可得到标准形式的洛伦兹变换：

等价于分量形式：

这正是一维洛伦兹变换的微分形式，它体现了在闵可夫斯基几何中，参考系之间的变换等价于一类保持线元不变的伪转动变换。而快度ϕ提供了一个比速度更“几何自然”的描述运动状态的参数，具有良好的可加性，在相对论中的应用广泛。

（张朝阳推导伪转动与洛伦兹变换的关系）

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