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在笛卡尔坐标系中,除了我们之前所提到的坐标点,也有我们本期和下期所要介绍的由点组成的线,关于线的第一部分,也就是我们下面要讲的——点斜率。
先上一个公式:,这个公式就是点斜率公式。我们来详细了解一下公式中的表达式所代表的含义。
为什么这个公式会和坐标系中“线”相关,或者它如何代表坐标系中的“线”?甚至于这个说法“点斜率公式代表(说明)坐标系中的‘线’”意味着什么?
如下图所示,我们在坐标系中标出A(a,b)和B(c,d)两个点,用直线连接A、B两点。
根据A、B两点的坐标,我们可以计算出其(表示点A到点B的直线)斜率(用M表示)为:
M=
我们以具体的数字为例放到坐标点中来看一下。
如上图所示的斜率为M==,二分之一。
这个斜率的作用是什么呢?假设从A点出发,向右与X轴平行前进1个单位,也就是对应X轴上的实数2,而我们要找到与之对应的在直线上的点,那么在这条直线上的点对应的Y轴上的实数应该是2.5,即2加上斜率。我们把这个坐标点称为C(2,2.5)。
当我们从A点出发向右移动2个单位,对应X轴上的实数3,相应地向上移动两个2加上两倍的斜率,即对应Y轴上的实数3。我们将直线的斜率称之为正斜率。
与正斜率相对的便是负斜率,如下图所示从D(-1,1)点到原点的斜率:
M==-1,直线的斜率为负斜率。
至此,我们所了解的是点到点的一段直线的斜率,我们如果把这段直线无限延伸,会有怎样的应用呢?
我们先确定两个坐标点A(1,2)和B(3,2),并且可快速得到直线的斜率为1。再将此直线分别从两个端点出发无限延伸,整个这条线的斜率都为1。
随意在这条线上取一点(x,y)。
由此,我们可以知道在这任意点与A点之间的斜率都为1,并且得到如下表达式:
1=,进而得到y-1=1*(x-2)。
若将这条无限延伸的直线作为集合,则可表示为:
={(x,y)∈R:y-1=1*(x-2)}
我们也可根据以上的集合表达式来判断某个点是否在这条直线上,例如(1,5)。
5-1=4≠1*(1-2),说明该点不在直线上。
我们最后回到开始所给出的那个公式:假设直线的斜率为M,且点(,)为直线上的任意一点,则:。
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快照生成时间:2022-12-27 16:45:05
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