《张朝阳的物理课》解析用协变导数表达梯度和拉普拉斯算子

如何用协变导数描述标量场被梯度算子和拉普拉斯算子作用后的结果？4月6日12时，《张朝阳的物理课》第二百四十三期开播，搜狐创始人、董事局主席兼首席执行官、物理学博士张朝阳坐镇搜狐视频直播间，从多元函数微积分的角度介绍了梯度算子的定义，接着从张量分析角度说明了将梯度算子写成逆变分量的必要性，而对坐标求偏导得到的是协变分量，所以需要用度规进行转换。最后，将转换好的梯度算子的逆变分量与协变导数算子缩并，就得到了拉普拉斯算子。

（张朝阳计算梯度算子）

球坐标下的梯度算子

在直角坐标系中，对于一个标量场f(x,y,z)，如果将场点的位置移动一个位矢微元

那么借助多元函数的泰勒展开，可以将f随坐标移动dr导致的微分变化量写成

它可以看成两个矢量的内积

将第一个括号内的式子定义成梯度算子作用到f后的结果，得到

类似地，在球坐标系中，场点的位矢微元可以用球坐标单位基矢展开

那么f(r,θ,φ)的微分可以写为

括号内的式子就被定义为球坐标下的梯度算子作用到f后的结果

这个结果就是矢量微积分中梯度算子在球坐标系下的表达式，它是梯度这个矢量按单位基矢展开的表达式。在张量分析中，更加关注矢量按坐标基矢展开的表达式。在之前的课上，已经介绍了球坐标的单位基矢和坐标下基矢的关系

将其替换到梯度算子的表达式中

最后一步用F重新标记了梯度矢量，从上式可以看出梯度矢量场在球坐标中的三个逆变分量为

以上是从矢量微积分的角度出发得到了梯度算子的逆变分量。接下来再从张量分析的角度来重新审视整个计算过程。首先，将标量对坐标求偏导数得到的是协变分量，它是按坐标上基矢展开的系数

它与位矢微元的缩并能得到作为标量的微分变化量

最后一步用到了上下基矢的对偶性。

为了在后面求梯度矢量场的协变散度，需要将它转化为逆变分量与坐标下基矢的线性组合，这样才能与协变导数算符进行缩并求出协变散度。逆变分量是按坐标下基矢展开的系数，利用度规的转换对偶基矢的功能，将上基矢替换为逆变度规与下基矢的缩并，得到

利用逆变度规只有对角元的性质

也就得到了

球坐标下的拉普拉斯算子

标量场的梯度是一个矢量场，它再求一次协变散度后就得到了标量场被拉普拉斯算子作用后的结果

在三维平直空间中，球坐标系的克氏符为

第二个等号利用了指标α和δ的对称性，由于这里的α和δ都是哑指标，所以可以对第一行的第三项交换α和δ，再利用度规张量两个指标的对称性，可以发现它刚好和第一项相消。最后一个等号用到了球坐标度规只有对角元的性质，即

这样每一项都有四个α指标，在爱因斯坦求和约定下可能造成混淆，所以再次放弃爱因斯坦求和约定，把它显式地写出来。

注意到度规只有对角元意味着逆变度规等于协变度规的倒数

所以

代入度规后得到

从这里可以很直接地计算出克氏符的三个分量

（张朝阳计算矢量场的协变散度）

将克氏符代入拉普拉斯算子的表达式中，得到

它和用矢量微积分得到的结果一致。

据了解，《张朝阳的物理课》于每周周日中午12时在搜狐视频直播，网友可以在搜狐视频APP“关注流”中搜索“张朝阳”，观看直播及往期完整视频回放；关注“张朝阳的物理课”账号，查看课程中的“知识点”短视频；此外，还可以在搜狐新闻APP的“搜狐科技”账号上，阅览每期物理课程的详细文章。返回搜狐，查看更多