引力引起的光线偏折，《张朝阳的物理课》推导广义相对论下引力对光传播的影响

张朝阳推导引力场下的光线偏折角度

在 Newton 时期，人们就基于光的微粒假说推测，在万有引力作用下光可能不再沿直线传播。就像质点在有心平方反比力场中可能走过一个双曲线轨迹一样，光经过大质量天体的时候也会出现传播方向的偏转。而其偏转角和偏转的具体原因则只有在广义相对论中才能得到正确的理解。引力对光的这样的作用有时也被称为引力透镜，在1919年由 Eddington 团队对经过太阳的星光偏折的观测实验佐证了 Einstein 的预言，也成为广义相对论的证据之一。2024年1月14日中午，《张朝阳的物理课》第一百九十七期开播，搜狐创始人，董事局主席兼首席执行官、物理学博士张朝阳先生坐镇搜狐直播间，为广大网友带来一节利用广义相对论计算引力场对光线偏折作用的计算的物理课。

几何光学的 Huygens 原理

人类对光最初的理性思考是相当几何的，不论是建立起来光线的模型还是思考光的反射。在18世纪以前对光现象相对成功的解释当属 Huygens 的波动光学理论——虽然彼时对光究竟是种什么样的波动，传播介质是什么仍然存在争论。Huygens 认为一般的光的传播过程可以近似看作平面波波前的传播，这个波前就是垂直于光传播方向的平面。当光倾斜从一种介质传播到另一种介质中时，由于折射率的不同，即不同介质中光速发生变化，波前并非同时进入另一种介质。这种速度偏差就会导致波前的方向的变化，换言之就是光传播方向的变化。

考虑光从折射率为 n1 的介质1入射到折射率为 n2 的介质2中，如果 n2 > n1，那么光在介质2中传播的速度 v2 = c/n2 就会小于其在介质1中的速度。这使得先进入介质2的波前走得更慢，导致波前运动方向向发现偏折。利用几何关系就可以得到

这个规律也被称为 Snell 定律。利用 Huygens 原理可以给予其直接的几何的证明。

Schwarzschild 度规中的光速

狭义相对论中，Einstein 曾指出在任何惯性系中真空光速相同，均为 c。然而在广义相对论中这个结论需要进行一定的澄清：究竟是什么样的比值才等于真空光速这个常数呢？事实上，坐标间隔的比值并非是一个不同坐标系下不变的标量，因此也就无从谈起其为光速c。能够利用比值定义的标量只能是固有时间（propert time）和固有长度（proper distance）之间的比值。以 Schwarzschild 度规为例，将 Schwarzschild 半径表示为 rs = 2GM/c^2，在球坐标下有形式

考虑沿径向传播的光在传播过程中的两个事件之间的间隔 (dt, dr, 0, 0)，它所对应的固有时间 dτ 和固有长度 dρ 应当为

换言之真空光速 c 满足的等式事实上是

引入引力势

则也可以写为

似乎可以讨论光经过坐标时间间隔 dt 和坐标空间间隔 dr 之间的商作为一种“光速”，不妨将其称为坐标光速，从而上面这个等式事实上也就给出了坐标光速对坐标的依赖关系

或者，

对于吸引的引力势，由于 ϕ < 0 ，坐标光速会比真空光速更小。

引力场作用下光传播方向的偏折

利用广义相对论思考引力对光传播方向的偏折的一个启发性观点就是将引力场对光的影响想象为坐标光速随位置变化所带来的折射行为，类比地看，引力场的地位就像是空间中存在一个折射率随半径 r 变化的球对称介质系统，介质中的光速就是上面计算得到的坐标光速。类比 Huygens 原理可以对其中光传播的路径展开分析。设想垂直光传播方向 dy 宽度的波前，在 y+dy 位置处的光速和 y 处的光速存在微小的不同 Δc，这种不同导致经过时间 dt 时两个端点走过的距离出现偏离 Δc dt。这种偏离带来的就是光传播方向偏折。

数学地，可以写出（为了不引起混淆，采用Δv来标记坐标光速沿着y轴的微小变化

其中出现的符号的含义如前所述，显然 y 的方向应当总是垂直于光的传播方向，但在弱场近似的极限情况，光通过引力场引起的偏折足够小，则可以将坐标近似地取为直角坐标系来进行计算。通过矢量的微积分注意到

从而可以写出

其中使用了偏折极小的时候，沿着x方向光的传播速度为真空光速c的近似。带入 Schwarzschild 度规的结果，可以写出

其中 r0 正是初始时光的传播方向到天体中心的距离。两边对 x 从负无穷积分到正无穷就可以给出偏转角，有

不同于 Newton 时期对光收到引力偏折的计算，这里给出的结论要多一个2的因子。这也使得广义相对论对引力场中光线的偏折的预言同 Newton 引力理论有所不同，而根据 Eddington 的实验，实际情况否认了 Newton 引力而支持了广义相对论。

据了解，《张朝阳的物理课》于每周五，周日中午12时在搜狐视频直播，网友可以在搜狐视频APP“关注流”中搜索“张朝阳”，观看直播及往期完整视频回放；关注“张朝阳的物理课”账号，查看课程中的“知识点”短视频；此外，还可以在搜狐新闻APP的“搜狐科技”账号上，阅览每期物理课程的详细文章。返回搜狐，查看更多

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