薛定谔方程，从数学上看经典力学推导得到量子物理学方程

问任何一个量子爱好者，什么量子力学的本质？他们首先回答的肯定是薛定谔的猫，接下来呢？可能是薛定谔方程。但是，这个方程究竟是什么，为什么它如此重要，以至于任何一个量子物理学家都会把它记在脑海中？这就是我们将在下面讨论的内容。

所以基本上，薛定谔方程是经典波浪方程的量子力学扩展，给你关于量子力学系统的能量的完整信息。为什么对电子这样的基本粒子使用波浪方程？答案是波粒二象性。

数学

因此，我们从行进波的经典波形方程开始：

其中A是振幅，k=2π/λ=（角）波数，x=位置，ω=角速度，t=时间。

古典波浪方程

有些教科书可能会在这个方程中使用余弦函数而不是正弦函数，这与我们所表达的方程是等价的，因为我们是以相对相位计算的。因此，对于φ=90°，我们得到的是余弦函数而不是正弦函数。也就是说，我们可以通过取φ=0°来消除相对相位。

你在文献中可能遇到的这个经典波浪方程的另一种形式是：

这只是我们上面定义的同一个方程，但以欧拉公式的指数形式给出。

经典波浪方程的另一种形式，由欧拉公式导出

因此，在我们定义了方程之后，让我们看看当我们将ψ相对于时间（t）和位置（x）进行微分时会发生什么。

将ψ相对于x和t进行微分，可以得到一些已知的表达式

现在，你可能想知道这些方程的好处是什么。但是，仔细一看，我们得出了一些很好的结论。但首先，我们知道，k=2π/λ（λ=波长）。根据德布罗意的关系：

是缩小的普朗克常数，而p是动量。

p和k之间的关系

同样，利用普朗克-爱因斯坦关系，ω=ω/=E/（其中E是能量）。

ω和E之间的关系

在我们的微分经典波方程中使用这两个关系，我们得到：

动量关系

现在，我们定义量子力学动量算子P-hat，使这个方程在P-hat中成立，即为：

动量算子。请注意，psi的符号由小到大的变化是为了表示从经典到量子的视角变化。

同样，对于能量，我们将能量算子定义为：

能量关系。这里发生了一个类似的从经典到量子的视角变化。

现在，我们从经典力学知道，动能（E）=p^2/2m。利用这个关系，我们得到：

一维的时间相关薛定谔方程。

简化后的数学得到了上式方程中的下面一个。这个方程被称为一维的随时间变化的薛定谔方程。

在这个问题上增加更多的维度，我们得到方程的一般形式。

三维的时间相关性薛定谔方程。（倒三角平方）函数被称为拉普拉斯或拉普拉斯算子。

完善方程

在上面给出的方程中，你可能会注意到一件事，那就是所有的起始方程，都是从经典力学中继承下来的，是对应于物体的动能的。而且那是真的。我们还没有在这些方程中加入物体的势能。让我们来做吧。

我们把量子系统的势能定义为势能算子V，并在三维空间中把它数学地写成V（x，y，z，t）ψ（x，y，z，t）。

因此，完整的能量方程是由：

三维中完整的时间相关型薛定谔方程。请注意，r被用来作为三个空间维度的速记表示。还请注意，量子系统的总能量被称为系统的哈密尔顿，它给你量子系统的总能量。

与时间无关和与空间无关的方程式

那么，上面我们铺垫了相当多的数学知识。如果φ不依赖于空间和时间，这将是它的最终形式。

那么，我们能不能在数学上把时间和空间分开？是可以的，但有一个假设。我们假设φ是可以分离成时间和空间相关的函数，即u(r)和T(t)。

因此，考虑到这个假设，我们得到以下方程。

与时间无关的薛定谔方程

最终形式

还记得随时间变化的动能方程吗？我们将使用该表达式来得到我们的空间无关方程，就像我们得到时间无关方程一样。

独立于空间的薛定谔方程

这就是我们的独立于时间的薛定谔方程！

在这篇文章中，我们已经从数学上看到经典力学是如何产生如此重要的量子物理学方程的。这种方法在这里被称为薛定谔方程的自由粒子方法。需要指出的是，尽管读者在互联网上也可能看到一些其他形式的薛定谔方程，但所有的方法基本上都可以归结为或从这几个（不那么）简单的方程中导出。

来自：mistlike