贾宪：北宋数学巨匠的未解之谜与卓越贡献

在介绍完刘焯、僧一行、王孝通等人之后，中国数学进入了宋元时期。宋元时期是中国古代数学成就的一个高峰，而这个高峰的启动者就是我们今天要说的北宋数学家贾宪。

据说这是贾宪？

贾宪的生卒年、生平事迹在历史上也并没有明确的记载，我们只能通过一些资料来推测，贾宪大概活跃在11世纪的上半叶，在朝廷中担任一个非常低级的武职，而且很有可能这个官职只是一个挂名的而已，并没有实际的职务和事情要去做，所以贾宪很可能是一个职业的数学家，他的主要工作就是研究数学。贾宪的著作主要有《黄帝九章算经细草》九卷、《算法敩古集》两卷，但是很可惜，这两本书都已经散佚了。在南宋杨辉的《详解九章算法》中有《黄帝九章算经细草》的大部分内容，也算是保存了贾宪的成果。

贾宪的数学成果有很多，最著名的则是"贾宪三角"和"增乘开方法"。"贾宪三角"是由一些由数字组成的三角形，它就出自于杨辉的著作《详解九章算法》中，由于杨辉在书中的注中说"贾宪用此术"，而在贾宪之前的数学著作中我们并没有发现类似的方法，所以我们基本可以肯定是贾宪发明的"贾宪三角"。

古法七乘方图贾宪三角"实际上就是（a+x）^n（n=0,1,2,……，6）展开式各项系数的排列。它的特点就是每一个数（除三角形顶点之外）都是这个数的左上角和右上角两个数之和（如果没有左上角或者右上角的话，就把左上角或者右上角看做是0）。贾宪用这个图来阐明开方的法则而不仅仅是求出二项系数，所以它被称为是"开方作法本源"。即可以用来解类似x^n-A=0的高次方程。具体的解法是：在求x^n=A的正根时，先估算出根的第一位数a，再设x1=x-a，将方程改写成(x1+a)^n=A，然后再求出x1，而想要求出x1就要把(x1+a)^n展开，这时候就要用到贾宪三角了。比如我们要解x^3=1728的正根，因为1728是四位数，所以x肯定是个两位数，这样我们就可以设x=a+b，则有(a+b)^3=1728，根据贾宪三角的第4行（1,3,3,1）有a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=1728，可以估算出a=10，带入等式可以得到300b+30b^2+b^3=1728-1000=728，再估算第二位的商，必须要有b^3=8，所以b=2，代入等式中，发现等式成立，所以x=a+b=10+2=12是1728的立方根。从这里我们就可以看出来贾宪三角在当时是十分先进的。贾宪三角在西方叫做"帕斯卡三角"，这个我们在之前介绍帕斯卡那章里面已经说过了，在这里就不再赘述了。但是帕斯卡是十七世纪的数学家，要比贾宪晚了将近600年。

贾宪的另一个成果就是"增乘开方法"。"增乘开方法"是贾宪创立的用来解立方根为三位数的开立方方法。后来还被推广到求任意高次幂或高次方程的正根。贾宪的"增乘开方法"后经秦九韶"正负开方术"加以完善，使高次方程求正跟的问题得以解决。加之从李冶的天元术（一元一次或高次方程）到朱世杰的四元术（四元一次或高次方程组）的建立，终于在十四世纪初建立起一套完整的方程学理论，使之成为宋元数学届最有成就的课题。

增乘开方法

中国古代的数学书一般都会作为"类书"而存在的，比如后来杨辉的书中引用到了贾宪的著作，杨辉的著作后来则被编纂到了《永乐大典》中。《永乐大典》共有原本、正本和副本三部，但是原本、正本都毁于战火，副本也渐渐散失。1900年，八国联军侵入北京，抢走了许多，现在仍然流传在国外，比如剑桥大学中就有《永乐大典》中的《详解九章算法》的一页。