如何用张量语言计算斯托克斯力？《张朝阳的物理课》再访应力张量

在上节直播课中，张朝阳用矢量微积分的方法计算了斯托克斯力，过程中灵活切换了球坐标、柱坐标和直角坐标系，这三个参考系下的▽算子各有不同的形式。而在学习广义相对论时，张朝阳曾提过▽算子都可以用协变导数统一地写出，那么是否可以用这种方式一步到位地计算斯托克斯力呢？

10月13日12时，《张朝阳的物理课》第二百二十六期开播，搜狐创始人、董事局主席兼首席执行官、物理学博士张朝阳坐镇搜狐视频直播间，以张量分析的视角重新计算斯托克斯力的第二项。

单位基矢和坐标基矢

在三维直角坐标系下，空间中的一个位置矢量可以用三个坐标轴对应的单位基矢展开为

其中(x,y,z)就是这个矢量在直角坐标系下的坐标，而(i,jk)基矢互相正交归一。

而球坐标系的情形就没有那么简单了，比如某个点用球坐标(r,θ,ϕ)标记，它的位置矢量为

这里的\vec{e}_r是从原点指向该点的单位径向矢量。沿着坐标(r,θ,ϕ)构成的网格的切方向可以得到三个互相正交的方向，矢量微积分中常在这三个方向上取模长为1的矢量作为基矢，称为单位基矢

它们的长度都是1。而张量分析中，常用的是考虑位矢对坐标的偏导数所导出的坐标基矢

它和单位基矢的方向一致，但模长不一定为1。本文统一用数字下标代表这样的坐标基矢，而用坐标所对应的字母下标代表单位基矢。将球坐标下单位基矢的微分关系代入上式

可以得到坐标基矢和单位基矢之间的关系

从这里可以看出，坐标基矢不一定是归一化的，而这种不归一性导致了球坐标下的度规不再是单位矩阵

如何用张量语言表示点乘与张量积？

在张量分析的语言中，利用数字下标表示的坐标基矢，一个矢量可以用它的逆变分量展开为

这里用带上标的量F^α代表矢量的逆变分量，它是矢量在上基矢的投影。

任意两个矢量的点乘也可以用逆变分量与下基矢的展开写成

其中的上下指标缩并后，得到的是一个标量。任意两个矢量的张量积也可以类似地写成

它是一个二阶张量，由逆变分量F^α G^β以及相应的下基矢线性组合而成。也可以用一个字母H来表示这个二阶张量

在上节直播课计算斯托克斯力时，最后一步需要将面的法向量和应力张量点乘来得到力，这对应着一个矢量点乘二阶张量得到另一个矢量

对比(2)和(3)不难发现

这就是用带指标的张量分量表示点乘的方式，当β同时出现在矢量n的协变分量和二阶张量T的逆变分量上时，一上一下的指标需要做爱因斯坦求和（也称缩并），这样得到的结果不再含有β而只剩下α，也就是矢量与二阶张量缩并一个指标后降阶为一阶张量。

在球坐标系中，坐标基矢正交，度规是对角矩阵

所以也可以将(4)式写为（为避免歧义，此处不采用爱因斯坦求和规则，而是显式地写出需要求和的指标）

复习用矢量微积分方法计算斯托克斯力的第二项

在上一节课，张朝阳介绍了流体的应力张量为

并且详细计算了第二项在球面上贡献出的斯托克斯力为-4πRμv₀，为了积出这个结果，首先要计算

其中▽是一个矢量微分算符，在球坐标下用单位基矢展开来是

在本课程所研究的问题中，流体速度矢量场具有轴对称性，它没有方位角分量，可以写成

注意，本节采用的是矢量微积分的语言，所有的矢量分量都是按单位基矢展开的展开系数，没有对偶基矢一说，故不用对上下指标做区分。由此

注意到括号中的各项最终需要和左边的径向单位矢量点乘，所以括号中的二阶张量只需要计算基底中左边的部分为\vec{e}_r的项，也就是(5)中的▽算子只需要算第一项

最后一步利用了球坐标单位基矢不随坐标r的变化而变化的性质。

用张量分析方法计算斯托克斯力的第二项

本节采用和张量分析同样的数学记号，在区分上下指标的写法下，应力张量的第二项是

为了符号的简洁，本文采用在T的上方加上波浪线的方式代表是完整的应力张量的第二项。该项涉及到速度矢量的逆变分量v^β对坐标σ的协变导数

先看速度矢量的逆变分量，它应当是坐标基矢的展开系数。根据坐标基矢和单位基矢的关系(1)式

这样就将单位基矢下的矢量分量转化成了坐标基矢下的矢量分量

再考虑到(3)中的面法向量\vec{n}就等于\vec{e}_1，所以要算的(4)式在对β指标求和时只有β=1的项是非零的

接下来计算F的各个分量。当α=1时，

所以

当α=2时，

不难分析出，第二项和第三项无论η取哪个都为0，第一项只有η=2时是非零的

所以

当α=3时，

用同样的思路，可以得出只有η=3时克氏符是非零的。然而与该项缩并的的v³=0，所以斯托克斯力的第二项不含有α=3的分量。

综合这三个分量的讨论，可以得出

最后一步再次运用了坐标基矢和单位基矢的关系式(1)。该结果和上一节用矢量微积分得到的结果是一致的。

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