天体内部情形的广义相对论描述，《张朝阳的物理课》探索天体内部的物理规律

恒星内部的情况听上去是一个距离我们日常生活十分遥远的事情，但是在物理学中，这却是一个能够在笔尖展开计算的问题。这某种程度上是自然科学的魅力之一，而让几个世纪以来的无数物理学家竞相折腰。

2024年4月28日中午，《张朝阳的物理课》第二百零九期开播，搜狐创始人，董事局主席兼首席执行官、物理学博士张朝阳先生坐镇搜狐直播间，为广大网友带来一节利用广义相对论进一步计算恒星内部物质和引力场的数学规律的物理课。

在前面几节物理课中，我们已经对存在物质分布的情况下的 Einstein 场方程进行了一定的讨论，在球对称理想流体的假设下，我们进一步地得到了一些重要的结果，而这些结果事实上就能够作为天体内部的物质所满足的规律的数学描述。技术上地，这些讨论来自于有物质分布时的 Einstein 场方程

其中等号右边的符号 T 正是物质分布的能动张量，它是一个对称二阶张量。利用 Bianchi 恒等式，这个方程的直接推论是能动张量的协变散度为零，即

带入二阶张量的协变导数在弯曲时空下的形式，散度为零的方程（能动量守恒）自动给出

其中 Γ 就是 Christoffel 符号。过去我们检查了关于 β=0的分量方程和 β=1的分量方程（关于 β 指标的各个含义，在球坐标系中对应于0123的四个指标正是trθϕ），前者在静态球对称情形中是平凡的，无法给我们额外的信息。而后者则给出了恒星内部物质分布和度规所满足的径向方程，即

其中我们使用了理想流体的能动张量形式。这个形式已经接近著名的 Tolman-Oppenheimer-Volkoff (TOV) 方程的形式了。接下来我们将进一步讨论 β 的其他分量方程。

回顾理想流体的能动张量形式，普遍地，有

其中 U 为4-速度矢量，而对于静态流体，我们已经证明它具有对角的形式

因此对于 β=2的角向分量，散度的分量即为

我们分开考虑等号右边的三项。对于偏导数项，从静态情形，其 α=0 的分量对应于对时间求偏导数，因此立即确定为零。而其他分量则满足

对于第二项，从 T 的对角性质立即看出关于 t 的求和只有 t=2 时有贡献，因此只有

其中第一个等号利用了 T 的对角性，第三个等号利用了 g 的对角性，使得第二个等号右边对 μ 的求和中只有 μ=α 的项有贡献，整个等式中不对 α 求和。类似地，对于第三项同样只有 t=α 的项有贡献，因此应当有

同样，第三个等号来自 g 的对角性从而 μ 的求和中只有 μ=2 的项有贡献，亦不对 α 求和。将这三项加起来，我们就得到了散度的 β=2 的角向分量中求和指标为 α 项的细节

其中等号左边不对 α 求和，同时右边第一项和最后一项使用了 g 的对角性质进行了简化。从而我们只需要关心第二项即可。对于括号里的项，如果 α 不为0，那么立即从 T 的空间分量正比于 g 给出括号内的差为0。而在 α=0 时则不然，它将会给出非零的结果。将这些简化带入其中并对 α 求和，我们就得到了散度关于 β=2 的角向分量

其中我们使用了度规的球对称性，即 g 的各个分量都不是角度坐标的函数。稍微整理即得到散度方程的分量式

其中我们使用了 g_22 不为零以及度规的逆变分量和协变分量之间的关系。更进一步地，上面的所有讨论事实上并不过于依赖 β=2 的条件，它们对于 β=3 也同样适用。因此我们最终给出了关于各个分量都成立的方程：

其中 β=1,2,3，关于 β=0 的方程从静态条件自动满足。这一点事实上也可以从度规的00分量不显含角度和球对称性看出。利用这组方程和恒星物质的物态方程，以及 Einstein 场方程我们将会给出恒星内部的压强分布（TOV方程）或者是度规的具体形式，这将是我们之后的任务。

据了解，《张朝阳的物理课》于周日中午12时在搜狐视频直播，网友可以在搜狐视频APP“关注流”中搜索“张朝阳”，观看直播及往期完整视频回放；关注“张朝阳的物理课”账号，查看课程中的“知识点”短视频；此外，还可以在搜狐新闻APP的“搜狐科技”账号上，阅览每期物理课程的详细文章。返回搜狐，查看更多

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